Объединенная межвузовская математическая олимпиада 05.02.2012

[eek]

Объединенная межвузовская математическая олимпиада. Очный тур. 05.02.2012

Задания

Задача 1. На 100 мест за круглым столом посадили 50 мужчин и 50 женщин. Будем называть человека довольным, если у него есть сосед противоположного пола. Может ли отношение числа довольных мужчин к числу довольных женщин быть больше 1,9?

Задача 2.1 На первом складе в каждом ящике в среднем по 3 бракованных изделия, а на втором складе — по 6. С первого склада на второй перевезли 50 ящиков, и среднее количество бракованных изделий в ящике на каждом из складов уменьшилось на 1. Сколько всего ящиков на двух складах?
Задача 2.2 Среднее арифметическое чисел в первом столбике равняется 98, а среднее арифметическое чисел во втором столбике равняется 43. Шесть чисел из второго столбика перенесли в первый (стерли из одного и записали в другой), и среднее арифметическое каждого столбика уменьшилось на 5. Сколько всего чисел в двух столбиках?
Задача 2.3 В первой бригаде средняя производительность рабочего 61 деталь за смену, а во второй — 39 деталей за смену. Из первой бригады двое рабочих перешли во вторую (производительность рабочих при этом не изменилась), и средняя производительность за смену в каждой бригаде выросла на 2 детали. Сколько всего рабочих в двух бригадах?
Задача 2.4 В первом отделе средняя зарплата сотрудников 12 000 руб., а во втором — 5 000 руб. Из первого отдела во второй перевели четверых сотрудников с сохранением зарплаты. В результате средняя зарплата в каждом отделе выросла на 2 000 руб. Сколько всего сотрудников в двух отделах?

Задача 3.1 Найдите последнюю цифру числа `7^(2012^2011) - 3^(12^11)`.
Задача 3.2 Найдите последнюю цифру числа `7^(2012^2011) + 3^(12^11)`.
Задача 3.3 Найдите последнюю цифру числа `17^(2012^2011) - 13^(12^11)`.
Задача 3.4 Найдите последнюю цифру числа `2*7^(2012^2011) + 5*13^(12^11)`.

Задача 4.1 Длина медианы AD треугольника ABC равна 3, длины сторон AB и AC — 5 и 7 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.
Задача 4.2 Длина медианы AD треугольника ABC равна 4, длины сторон AB и AC — 7 и 9 соответственно. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача 5.1 Найдите сумму всех различных корней уравнения sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0, принадлежащих интервалу (0; `pi`).
Задача 5.2 Найдите сумму всех различных корней уравнения sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x = 0, принадлежащих интервалу (`pi`; `2pi`).

Задача 6.1 Решите систему `{((xy)/(x+y)=1),((yz)/(y+z)=2),((xz)/(x+z)=3):}`
Задача 6.2 Решите систему `{((xy)/(x+y)=1),((yz)/(y+z)=2),((xz)/(x+z)=4):}`

Задача 7.1 Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству f(x+3) = x+2-f(x), а при `x in [-3; 0)` задаётся формулой `f(x) = x^2`. Найдите f (2012).
Задача 7.2 Функция g(x) для всех x удовлетворяет равенству g(x+5) = x+3-g(x), а при `x in [-5; 0)` задаётся формулой `g(x) = 8 - x^2`. Найдите g(2012).
Задача 7.3 Функция h(x) для всех x удовлетворяет равенству h(x+6) = x+2-h(x), а при `x in [0; 6)` задаётся формулой `h(x) = 9 - x^2`. Найдите h(2012).
Задача 7.4 Функция u(x) для всех x удовлетворяет равенству u(x+7) = x-5-u(x), а при `x in [0; 7)` задаётся формулой `u(x) = 5 - x^2`. Найдите u(2012).

Задача 8.1 На одной из сторон острого угла с вершиной O взяты точки A и B, а на другой — точка C. При какой длине отрезка OC величина угла ACB максимальна, если OA = 1, OB = 5?
Задача 8.2 На одной из сторон острого угла с вершиной O взяты точки A и B, а на другой — точка C. При какой длине отрезка OC величина угла ACB максимальна, если OA = 2, OB = 3?
Задача 8.3 На одной из сторон острого угла с вершиной O взяты точки A и B а на другой — точка C. При какой длине отрезка OC величина угла ACB максимальна, если OA = 3, OB = 7?
Задача 8.4 На одной из сторон острого угла с вершиной O взяты точки A и B а на другой — точка C. При какой длине отрезка OC величина угла ACB максимальна, если OA = 3, OB = 5?

Задача 9.1 При каких значениях параметра а система `{(|x| + |y| + | |x| - |y| | = 6),(|x| + |y| = a):}` имеет наибольшее возможное число решений?
Задача 9.3 При каких значениях параметра а система `{(|x| + |y| + | |x| - |y| | = a),(|x| + |y| = 4):}` имеет наибольшее возможное число решений?

Задача 10.1 Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек (см. рис.).
Можно ли отправить посылку объема 37 дм^3, имея 3,6 м веревки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)?
Задача 10.2 Посылка должна быть упакована в ящик в форме прямоугольного параллелепипеда и перевязана один раз вдоль и два раза поперек (см. рис.).
Можно ли отправить посылку объема 63 дм^3, имея 4,32 м веревки (толщиной стенок ящика и уходящей на узлы веревкой пренебречь)?

Страница олимпиады olimpiada.ru/ommo, с которой можно скачать pdf файл с условиями

UPD
Условия 2.olimpiada.ru/arc/12/ommo/ommo2012-var.pdf
Краткие решения 2.olimpiada.ru/arc/12/ommo/ommo2012-sol.pdf