(Кудрявцев Л. Д и др. "Сборник задач по математическому анализу", Т. 1, 2003)
§ 19, № 22. 2.
`lim_(x -> 0) ((sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x))/(ln(ch x)))^((1)/(x))`
Преобразовываю:
`lim_(x -> 0) ((sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x))/(ln(ch x)))^((1)/(x)) = lim_(x -> 0) e^(1/x ln((sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x))/(ln(ch x)))) = e^(lim_(x -> 0)1/x ln((sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x))/(ln(ch x))))`;
`lim_(x -> 0)1/x ln((sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x))/(ln(ch x))) = lim_(x -> 0)1/x (ln(sqrt(1 - 2x) - root(3)(1 - 3x)) - ln(ln(ch x)))`
Раскладываю все по формуле Тейлора с `o(x^3)`:
`(-2x + 1)^((1)/(2)) = 1 - x - 1/2x^2 - 1/8x^3 + o(x^3);`
`(-3x + 1)^((1)/(3)) = 1 - x - x^2 - 5/3x^3 + o(x^3);`
`ch x = 1 + (x^2)/(2) + o(x^3);`
`ln(ch x) = ln (1 + (x^2)/(2) + o(x^3)) = (x^2)/2 + o(x^3);`
Но вот вопрос: как мне разложить `ln(ln(ch x))?`.
Можно так `ln(ln(ch x)) = ln(1 + (-1 + (x^2)/2 + o(x^3))) =?`