Здравствуйте дамы и господа!
Не получается разобраться с односторонними пределами.
Если же выражаться точнее, то на графике я все четко вижу и понимаю,
а когда дело доходит до вычислений на бумаге, то наступает конкретный ступор...
Итак, объясню то, что я не понимаю на примере задачи которую я "решил" только графически.
Условие: Дана функция `y=(x-4)/(x^2+x-20)` и два значения аргумента `x_1=4, x_2=-5`
Требуется:
1. Сделать схематический чертеж в окрестности точек `x_1` и `x_2`
2. Найти значение функции при стремлении аргумента к каждому из данных значений x
3. Определить является ли данная функция непрерывной или разрывной при данных значениях x
1.Чертеж:
На построенном графике все прекрасно видно (без вычислений, исходя из анализа графика) что:
а1) левосторонний предел точки `x_1=4` равен минус бесконечности`lim_(x->4-0)=-infty`
так как `Y` постепенно, сверху вниз, приближается к отметке `0,1` при изменении точности `X` от `3,9` до `3,9999999999`
а2) правостороний предел точки `x_1=4` равен плюс бесконечности`lim_(x->4+0)=+infty`
так как `Y` постепенно, снизу вверх, приближается к отметке `0,1` при изменении точности `X` от `4,1` до `4,0000000001`
Вывод по точке `x_1=4` такой: я возможно неправильно определил левый и правый пределы, т.к. немного не ясно, чему же все таки равен `Y`, при `X` который стремится к `4`, так как функция не определена в этой точке, и нельзя это точно выявить, т.к. это очень малое неопределенное число. Еще, можно сказать, что левый и правый пределы не могут стремится к нулю, т.к. при большой точности левого и правого значения они не могут "перепрыгнуть" порог в `0,1`
б1) левосторонний предел точки `x_2=-5` равен минус бесконечности`lim_(x->-5-0)=-infty`
так как это очевидно по движению `Y` вниз на графике
б1) правосторонний предел точки `x_2=-5` равен плюс бесконечности`lim_(x->-5+0)=+infty`
так как это очевидно по движению `Y` вверх на графике
Вывод по точке `x_2=-5` такой: в определении этих пределов я уверен на 100%, так как движение `Y` отчетливо видно по графику
По сути задача уже РЕШЕНА, и можно сказать, что точки `x_1, x_2` это точки разрыва второго рода. НО.
Самое интересное начинается когда я пытаюсь решить эту задачу, без построения графика.
a1) `lim_(x->4-0)(x-4)/(x^2+x-20)=(4-4)/(16+4-20)=(-0)/(-0)`
исходя из того что получилось, можно сказать что -0 деленное на -0 в итоге дадут нам положительный знак, тоесть
правосторонний предел равен `+infty` ИЛИ Я НЕ ПРАВ? Я знаю что не прав, т.к. это противоречит нашему анализу графика выше!
a2) `lim_(x->4+0)(x-4)/(x^2+x-20)=(4-4)/(16+4-20)=(+0)/(+0)`
исходя из того что получилось, можно сказать что +0 деленное на +0 в итоге дадут нам то, что
левосторонний предел равен `+infty` ИЛИ Я НЕ ПРАВ? по сути тут я прав, так как с анализом графика это совпадает
И еще мне непонятен вопрос, откуда берутся `-infty` и `+infty`, если в делении у нас участвуют НУЛИ, и во многих примерах я видел тоже самое. Хотя на самом деле мне известно что +Ноль и -Ноль это обозначение левого и правого пределов, все равно непонятно, как оно "превращается" в бесконечность
Далее:
б1) `lim_(x->-5-0)(x-4)/(x^2+x-20)=(-5-4)/(25-5-20)=(-9)/(-0)=+infty`
исходя из того что получилось, можно сказать что отрицательное число деленное на -0 в итоге дадут нам то, что
левосторонний предел равен какой то положительной бесконечности, т.к. `минус` `на` `минус` дадут нам `плюс`.
ИЛИ Я НЕ ПРАВ? я не прав, потому как с графиком это не сходится
б1) `lim_(x->-5+0)(x-4)/(x^2+x-20)=(-5-4)/(25-5-20)=(-9)/(+0)=-infty`
исходя из того что получилось, можно сказать что отрицательное число деленное на +0 в итоге дадут нам то, что
правосторонний предел равен какой то отрицательной бесконечности, т.к. `минус` `на` `плюс` дадут нам `минус`.
ИЛИ Я НЕ ПРАВ? я не прав, потому как с графиком это опять же не сходится!
Пожалуйста помогите мне в этом разобраться, два дня уже пытаюсь это понять, и все никак не доходит...
Спасибо