Олимпиада была 12 марта и я всё пишу по памяти
1) Дана окружность радиусом 3 и квадрат со стороной 2 . Точки А и В лежат в кругу , а точки С и D в квадрате. Найти , какое максимальное значение может принимать расстояние между серединами отрезков AC и BD .
2) Даны числа от 1 до 2011 . Перед каждым числом поставили знак + или - . Мог бы итог получиться полным квадратом ?
3) Дан остроугольный треугольник , в котором проведены 2011 высот , тоесть например после проведения одной высоты получается
прямоугольный треуг. и уже из него можно провести высоты из любой вершины . Доказать , что найдётся угол в 30 градусов , который бы не пересекал прямые высот
4)Дан квадратный трёхчлен `f(x)=ax^2+bx+c . f(2011)=0 . f(0)=2011 `. Найдётся ли ` f(2^n) `которое бы делилось на 3 `n in N`
5) `p/q < sqrt(13)`, p,q - натуральные числа. Может ли быть ВСЕГДА , что ` p/q+1/(3pq) < sqrt(13)`?
6) Встретились 2 армии. В армии А- 800 воинов , в армии В-1000 воинов. Каждый воин имеет ровно одну стрелу , и если он ей стрельнет , то ровно один из другой армии погибает .
Они договорились стрелять по рыцарски .Сначала стреляет некоторая часть армии А , затем некоторая часть армии В , затем сново стреляет часть армии А , затем стреляет часть армии В . Какое наименьшее число выживших может остаться всего ?

Upd Варианты условия:
4. Существует ли такой трехчлен `f(x)=...`, что `f(2^n)` делится на 3 при любом натуральном `n`?
5. Натуральные числа `p` и `q` таковы, что `p/q < sqrt(n)`. Всегда ли верно, что `p/q + 1/(kpq) < sqrt(n)` при `k>=3`, `n in N`.
3. Дан остроугольный треугольник на плоскости. В нем проводится высота. В одном из получившихся треугольников снова проводится высота. Такая операция повторяется 2011 раз. Каждый раз проводится высота в каком-нибудь из образовавшихся при предыдущих построениях треугольнике. Рассмотрим все прямые, содержащие проведенные высоты. Докажите, что на плоскости можно расположить угол в 30 градусов, не имеющих общих точек ни с одной из этих прямых.

Upd2 Вот еще несколько условий для 11 класса
1. Центры трех шаров с радиусами 1, 2 и 3 образуют правильный треугольник со стороной `100500`. Известно, что точка `А` лежит в первом шаре, `В` во втором, `С` в третьем. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников `ABC`.
6. Класс из `2n` учеников разделен на две половины так, что каждый школьник из первой половины дружит ровно с `6` одноклассниками, а каждый школьник из второй половины дружит ровно с четырьмя одноклассниками. Найти число таких компаний из трех учеников, что в них либо все школьники дружат друг с другом, либо каждый не дружит ни с одним из двух оставшихся.