Здравствуйте. Продолжаю решать задачи С5. Условие:
"При каких целых значениях параметров `a` и `b` система
`{(xyz+z=-a),(xyz^2-z=b),(x^2+y^2+z^2=4):}`
имеет единственное решение?"
Проверьте, пожалуйста, решения, скажите, какие недочёты и главное: как можно решить порациональнее?
читать дальшеЗамечаем, что если `(x_0;y_0;z_0)` - решение системы, то и `(-x_0;-y_0;z_0)` - тоже решение системы. Следовательно, чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы `x_0=-x_0`, `y_0=-y_0`, т.е. чтобы `x_0=y_0=0`.
Подставим вместо `x` и `y` в исходную систему 0. Получим:
`{(z=-a),(-z=b),(z^2=4):}`.
Из третьего уравнения находим, что `z=+-2`.
Пусть `z=-2`, тогда `a=b=2`, и при этих значениях параметров исходная система примет вид:
`{(xyz+z=-2),(xyz^2-z=2),(x^2+y^2+z^2=4):}`.
Теперь как-то нужно решить эту систему, чтобы проверить достаточность, т.е. чтобы узнать, на самом ли деле у нас будет единственное решение или нет, ведь `x_0=y_0=0` - это условие нечётности количества решений, т.е. решений может быть 1, 3, 5, ...
Из первого уравнения выражаем: `xyz=-z-2`, подставляем во второе:
`(-z-2)z-z-2=0`,
`-z^2-2z-z-2=0`,
`z^2+3z+2=0`,
`(z+2)(z+1)=0`,
`z_1=-2`, `z_2=-1`.
При `z_1=-2`:
`{(-2xy-2=-2),(4xy+2=2),(x^2+y^2+4=4):}`. Из третьего уравнения следует, что `x=y=0`.
Итак, имеем решение `(-2;0;0)`.
При `z_1=-1`:
`{(-xy-1=-2),(xy+1=2),(x^2+y^2+1=4):}`,
`{(xy=1),(xy=1),(x^2+y^2=3):}`,
`{(xy=1),(x^2+y^2=3):}`,
`{(y=1/x),(x^2+(1/x)^2=3):}`.
Второе уравнение:
`x^2+(1/x)^2=3`,
`x^4-3x^2+1=0`,
`x^2=t`, `t>=0`,
`D=9-4=5`
`t_1=(3-sqrt5)/2>0` `=>` уже для этого значения мы имеем дополнительно два решения исходной системы. Всего больше одного, поэтому `a=b=2` не подходят.
Аналогично при `z=2`, тогда `a=b=-2`, и при этих значениях параметров исходная система примет вид:
`{(xyz+z=2),(xyz^2-z=-2),(x^2+y^2+z^2=4):}`.
`xyz=2-z`,
`2z-z^2-z=-2`,
`z^2-z-2=0`,
`z=-1` , `z=2`.
`z=-1`:
`{(-xy-1=2),(xy+1=-2),(x^2+y^2+1=4):}`,
`{(xy=-3),(x^2+9/(x^2)=3):}`,
`x^4-3x^2+9=0`,
`D<0` `=>` решений нет.
`z=2`:
`{(2xy+2=2),(4xy-2=-2),(x^2+y^2+4=4):}` - 1 решение (легко проверить).
Ответ: `a=b=-2`.
Вопрос: можно ли решить проще и короче, без прорешивания системы два раза? На ЕГЭ некогда будет всё это писать.
Заранее спасибо.