Из сборника
10 класс
7. `TZ`Сколько существует чисел от 1 до 1000000, не являющихся ни полным квадратом, ни полным кубом, ни четвертой степенью?[[/TZ]]
8. `TZ`Найдите сумму коэффициентов при нечетных степенях x в многочлене, который получается из выражения ` (x^3-x+1)^100`
в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.[[/TZ]]
9.`TZ` Даны положительные числа `a_1; a_2; ... ; a_n`. Докажите, что если `a_1 + a_2 +....+ a_n <(1/2)`, то
` (1 + a_1)(1 + a_2) .......(1 + a_n) < 2 ` .[[/TZ]]
10. В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных
звена попарно перпендикулярны. Докажите, что число ее звеньев делится на 6.
11. Докажите, что существует степень тройки, оканчивающаяся на 001.
12.`TZ` Дана окружность, точка A на ней, и точка M внутри нее. Рассматриваются хорды BC, проходящие через M. Докажите, что
окружности, проходящие через середины сторон треугольников ABC касаются некоторой фиксированной окружности.[[/TZ]]