Как доказать, что как бы ни было велико число N, в ряде простых чисел есть пробелы размером больше N.

Пробелы - отрезки числовой прямой, не содержащие простых чисел.

Если перефразировать:
Для любого натурального k можно указать ряд из k последовательных натуральных чисел, в котором нет ни одного простого числа.