Здравствуйте. В общем, знаю, как решать, не знаю, как доказать. Подготовительная задача из книги "С6".
`TZ` На какую цифру оканчивается число `53^2007`?[[/TZ]]
Очевидно, что последняя цифра числа `53^2007` будет такой же, как последняя цифра числа `3^2007`.
Запишем несколько степеней числа 3:
`3^1=3`,
`3^2=9`,
`3^3=27`,
`3^4=81`,
`3^5=243`,
`3^6=729`.
Замечаем, что последние цифры повторяются в зависимости от вида показателя степени:
`4n+1` `=>` `3`,
`4n+2` `=>` `9`,
`4n+3` `=>` `7`,
`4n` `=>` `1`.
Докажем замеченную периодичность.
А вот как доказать, не знаю.
Помогите, пожалуйста.
Заранее спасибо.