Здравствуйте! Помогите, пожалуйста!

Задание:
`TZ`
Образует ли кольцо множество матриц, относительно сложения и умножения матриц. Если да, то классифицировать это кольцо.
`M = {((1\ \a),(0\ \1))|a in R}`
[[/TZ]]

Решение:

Кольцо - алгебра с основным множеством `K!=0` и операциями +,*, удовлетворяющая следующим аксиомам:
1) `AA a, b in K a+b = b+a`
2) `AA a, b, c in K a+(b+c) = (a+b)+c`
3) `EE 0 in K AA a in K 0+a = a+0`
4) `AA a in K EE -a in K a+(-a)=(-a)+a=0`
5) `AA a, b, c in K a(b+c) = ab+ac , (b+c)a = ba+ca `
6) `AA a, b, c in K a(bc)=(ab)c`

1.Докажем, что М - алгебра.

`A = ((1\\a),(0\\1)), B =((1\\b),(0\\1))`

`X = AB = ((1\\b+a),(0\\1))`

`Y = A+B = ((2\\a+b),(0\\2))`

матрица Х явно имеет указанный в условии вид. а вот что можно сказать про Y?
здесь нужно сделать вывод о том, что множество замкнуто относительно операций. Y - входит в множество?

Найдем противоположные элементы:

для умножения:

`A^(-1) = 1/(detA) * C^*`

`C^* = ((1\\-a),(0\\1)) , detA = 1-a`

`A^(-1) = ((1/(1-a)\\0),(a/(a-1)\\1/(1-a)))`

для сложения:

`-A = ((-1\\-a),(0\\-1))`

здесь можно сделать вывод, что М - алгебра, если с Y все в порядке

2.Проверим, выполняются ли аксиомы:

можно сказать, что аксиомы 1-4 выполняются из свойств сложения матриц?

5) A(B+C) = AB + AC

`C = ((1\\c),(0\\1))`

` A(B+C) = ((1\\a),(0\\1)) * ((2\\b+c),(0\\2)) = ((2\\2a+b+c),(0\\2))`

`AB+AC = ((1\\b+a),(0\\1)) + ((1\\c+a),(0\\1)) = ((2\\2a+b+c),(0\\2))`

верно

6) A(BC) = (AB)C

`A(ВС) = ((1\\a),(0\\1))* ((1\\b+c),(0\\1)) = ((1\\a+b+c),(0\\1))`

`(AB)C = ((1\\b+a),(0\\1))*((1\\c),(0\\1)) = ((1\\a+b+c),(0\\1))`

верно

Из 1 и 2 => М - кольцо

3.Классификация:

1) по кол-ву элементов кольцо бесконечное
2) по доп. св-ву бинар. операций - коммутативное
3) по наличию спец. элемента - с единицей (единицей является единичная матрица Е)
4) по св-вам элементов - без делителей нуля
или с делителями?? в лекции написано, что множество квадратных матриц Mnxn имеет делители нуля.
но конкретно для такого вида матриц... ну, там же все равно единицы будут!

PS это задание по абстрактной алгебре. тут такой темы нет... что написать?