В этом топике приводятся
указания к решению некоторых задач С2 и С4 из издания:
Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2011 году. Методические указания. — М.: МЦНМО, 2011. — 144 с. ISBN 978-94057-680-8 Скачать можно отсюда
Литература по подготовке к ЕГЭ по математике (Часть II)По сравнению с изданием прошлого года в книге появились 4 диагностические работы (ДР), содержащие "новые" задания С2 и С4. Это ДР №№5-8, диагностические же работы прошлогоднего варианта книги имеют теперь нумерацию №№9-13. Помимо этого в книге появились подготовительные и зачетные задания ко всем задачам части С
В данном топике рассматриваются геометрические задачи только ДР №№5-8
Задачи С2 MU(2011).C2.5Основанием прямой треугольной призмы `ABCA_1B_1C_1`является равнобедренный треугольник `ABC`, в котором `AB=BC = 20`, `AC = 32`. Боковое ребро призмы равно 24. Точка `P` принадлежит ребру `B B_1`, причем `BP:PB_1= 1:3`. Найдите тангенс угла между плоскостями `A_1B_1C_1` и `ACP`.
РисунокУказаниеТак как плоскости `ABC` и `A_1B_1C_1` параллельны, то угол между плоскостями `A_1B_1C_1` и `ACP` равен углу между плоскостями `ABC` и `ACP` . Пусть Е -середина АС. Соединим Е с точками В и Р. Тогда так как треугольник АВС равнобедренный, то `BE_|_AC`, а поскольку `BE` - ортогональная проекция `PE`, то по теореме о трех перпендикулярах `PE_|_AC`, следовательно, `/_PEB` - линейный угол двугранного угла между плоскостями `ABC` и `ACP`. Поскольку легко подсчитывается, что `BE=12`, `BP=6`, то `tg/_PEC=6/12=1/2`Ответ: `1/2`
MU(2011).C2.6Основание прямой четырехугольной призмы `AB...D_1`прямоугольник ABCD, в котором `AB = 5`, `AD =sqrt(11)` Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра `AD` перпендикулярно прямой `BD_1`, если расстояние между прямыми `AC` и `B_1D_1` равно 12.
РисунокУказаниеТак как расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые, то расстояние между прямыми `AC` и `B_1D_1` равно высоте призмы, то есть `D D_1=12`.
Угол между плоскостями можно найти как угол между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Плоскости основания призмы перпендикулярна прямая `D D_1`, плоскости сечения, проходящего через середину `AD` перпендикулярна по условию прямая `BD_1`. Таким образом, надо найти тангенс угпа между прямыми `BD_1` и `D D_1`: `tg(/_BD_1D)=(BD)/(D D1)`
Найдя по теореме Пифагора `BD`, получаем `tg(/_BD_1D)=1/2`
Ответ. `1/2`MU(2011).C2.7В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями `ABC` и `DB_1F_1`
РисунокУказаниеТак как плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, то плоскость `DB_1F_1` пересекает плоскость основания по прямой `d`, параллельной прямой `B_1F_1` или, что то же самое, параллельной `BF` (самой прямой `d` на чертеже нет). Так как `AD_|_BF`, то `AD _|_ d`.
Пусть `AD` пересекает `FB` в точке `K`, легко показать, что `K` - середина `BF`. Соединим середину `B_1F_1` - точку `T` - с точкой `K`. Тогда `TK||B B_1`, а значит, `TK_|_ ABC`. Поэтому `DK`- ортогональная проекция `DT` и по теореме о трех перпендикулярах `DT_|_d`. Следовательно, `/_TDK` - линейный угол двугранного угла между плоскостями `ABC` и `DB_1F_1`. Тангенс этого угла равен отношению `TK` к ` KD`. `TK` равняется высоте призмы, `DK =3/4*AD=3/2`. Oтсюда `tg(/_TDK)=2/3`
Примечание. Можно было находить тангенс угла между плоскостями `A_1B_1C_1` и `DB_1F_1`
Ответ: `2/3`MU(2011).C2.8В правильной шестиугольной призме `A...F_1`, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости `DEA_1`.
РисунокУказаниеРасстояние от точки А до плоскости `DEA_1` равно длине перпендикуляра, опущенного из точки А на эту плоскость.
Проведем в плоскости `AEA_1` `AK_|_A_1E`. Так как `ED_|_AE`,`ED_|_A A_1`, то `ED` перпендикулярен `AEA_1`, а значит, и любой прямой в этой плоскости. Поэтому `AK_|_ED`. Следовательно, `AK` перпендикулярен двум пересекающимся прямым плоскости `DEA_1`, то есть и самой плоскости. Поэтому `AK`- искомый перпендикуляр. Его длину легко найти с помощью метода площадей, выразив двумя способами площадь треугольника `AEA_1`: `AK=(A A_1*AE)/(A_1E)`. Легко вычисляя длины всех отрезков получаем, что `AK=sqrt(3)/2`
Ответ: `sqrt(3)/2`Задачи С4MU(2011).C4.5Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC (/_B = 90°) пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если СО = 9, OD = 5.
1 способ РисунокУказаниеТак как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то площадь `S_1` треугольника АСМ равна половине площади `S` треугольника АВС
Обозначим `BC=a`, `AC=b`, `/_DCB=alpha`, тогда `S_1=1/2*a/2*9*sinalpha +1/2*b*9*sinalpha=9/2*sinalpha*(a/2+b)`. Аналогично `S=1/2*14*sinalpha*(a+b)`. Так как `S=2S_1`, то `a:b=4:5` и `a=4/5*b`. Отсюда `AB=3/5*b`. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника `BD : DA=4:5`, поэтому можно положить `BD=4x`, `DA=5x`. Тогда `AB=9x`, `b=15x`, `a=12x`. Так как `14^2=(12x)^2+(4x)^2`, то `x^2=196/160=49/40`. Отсюда площадь треугольника АВС равна `1/2*9x*12x=(1323)/(20)`
Ответ:`(1323)/(20)`2 способ. Решение VEkРисунок УказаниеПроведем через вершину `C` прямую `(CF)`, параллельную `AB`, до пересечения с продолжением медианы `AM` (`F=(AM) nn (CF)`). Тогда `CF=AB`.
Из подобия треугольников `ADO` и `OCF` следует , что `AD : AB = 5 : 9`. По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника получаем `BC: AC = 4 : 5` и стороны треугольника относятся как `3: 4 : 5`. Косинус половины угла С равен `3/sqrt(10)`.
Длина биссектрисы треугольника равна `l_(AB)=(2*BC*AC)/(BC+AC)*cos((/_C)/2) =(2*4x*5x)/(9x)*3/sqrt(10)`. Значит, `x^2= 21^2/40`.
Площадь треугольника равна `S=0.5*3x*4x=6x^2=1323/20`MU(2011).C4.6В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
Рисунок УказаниеПусть `AD`- биссектриса угла при основании. Воспользуемся свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника: `(AB)/(AC)=(BD)/(DC)`. Учитывая, что `BC=20`, получаем, что `BD=16, DC=4`. Пусть `E` - середина `AC`. Из прямоугольного треугольника `AEB` находим `cos/_A= 1/8` Так как треугольник `ABC` равнобедренный, то `cos/_C= 1/8`.
Из треугольника ADC по теореме косинусов находим `AD=6`
Ответ: 6MU(2011).C4.7На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки К, L и М, причём АК:KB = 2:3, BL : LC =1:2, СМ : МА = 3:1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок ВМ?
РисунокУказаниеПусть D - точка пересечения KL и BM. Соединим D с вершинами А и С. Тогда треугольник АВС будет разбит на 6 маленьких треугольников. Воспользуемся следующим фактом: Если два треугольника имеют одинаковые высоты, то отношение их площадей равно отношению длин оснований (сторон, на которые опущены эти высоты). (см., например,здесь)
Тогда можно ввести следующие обозначения для площадей этих треугольников (см. рис). Используя еще раз вышеприведенный факт теперь уже для треугольников АВМ и ВМС, получаем, что `(3T+3P)/(5S+P)=3/1`, откуда `T=5S` (1).
Рассмотрим теперь треугольники KBL и ABC. Так как они имеют общий угол, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих этот угол, то есть `(3T+4P+5S)/ (T+3S)=15/3=5/1`. Отсюда с учетом (1) получаем`P=5S`. Значит, площади треугольников BDА и ADM равны, а поскольку эти треугольники имеют общую высоту , опущенную на прямую ВМ, то они имеют и равные основания. Значит, BD=DM. Отсюда BDM=1:1
Ответ 1:1MU(2011).C4.8Окружность, построенная на стороне `AC` треугольника `ABC` как на диаметре, проходит через середину стороны `BC` и пересекает в точке `D` продолжение стороны `AB` за точку `A` причём `AD=2/3*AB`. Найдите площадь треугольника `ABC`, если `AC= 1`.
РисунокУказаниеУгол `AEC` - прямой, так как он опирается на диаметр. Кроме того, по условию `BE=EC`. Отсюда `AB=AC=1`. Поскольку `AD=2/3*AB`, то `AD=2/3`. По теореме Пифагора находим `DC`. Площадь треугольника `ABC` равна `1/2*AB*CD=sqrt(5)/6`
Ответ: `sqrt(5)/6`===
Огромная просьба - если есть другие способы решения (особенно это касается задач С4 из ДР № 5 и 7), выложить их в комментах.
И сообщайте, пожалуйста, об опечатках и ошибках
З.Ы. В связи с последними проблемами на diary рисунки могут не всегда отображаться