Несколько олимпиадных задач, решить которые мне не по силам, обращаюсь к вам светлые умы)
1.`TZ` Можно ли расположить в координатном пространстве правильный шестиугольник так, чтобы все его вершины имели целочисленные координаты?[[/TZ]]
2.`TZ` Рассматриваются 900 квадратных уравнений вида x^2-px+q=0 , где p и q пробегают целые значения от 1 до 30. Те из этих уравнений, которые имеют корень, больший 20, назовем хорошими. Найдите количество хороших уравнений. [[/TZ]]
3. `TZ`Существует ли пространственная замкнутая двенадцатизвенная ломаная, все звенья которой равны и все углы – прямые?[[/TZ]]
4. `TZ`Петр и Павел играют в следующую игру. Петр называет два ненулевых целых числа m и n. Павел записывает квадратную функцию с коэффициентами 2010, m, n (в любом порядке). Петр выигрывает в том и только том случае, если соответствующее квадратное уравнение имеет два различных рациональных корня, иначе выигрывает Павел. Докажите, что Петр всегда может выиграть.[[/TZ]]
5. `TZ`Рассматриваются наборы из 12 гирек, удовлетворяющие следующим условиям. Все гирьки разного веса, причем вес каждой гирьки – целое число граммов. Вес любых n гирек больше, чем вес любых n-1 гирек. Найдите набор гирек минимального веса, обладающий этими свойствами.[[/TZ]]