Как известно, каждой точки плоскости с координатами `(x, y)` можно поставить в соответствие ровно одно комплексное число `z = x + i * y` так, чтобы первая координата точки была его действительной частью, а вторая — мнимой, при этом для каждого комплексного числа найдётся соответствующая ему точка плоскости.
Уравнение прямой на плоскости:
`A * x + B * y + C = 0`, где `A^2 + B^2 != 0`.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки `A(x_1, y_1)` и `B(x_2, y_2)`:
`(y_2 - y_1) * x - (x_2 - x_1) * y - x_1 * (y_2 - y_1) + y_1 (x_2 - x_1) = 0`, где `(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 != 0`.
А каким будет уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости: `zeta_1` и `zeta_2` `in CC`?
читать дальше
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости `zeta_1` и `zeta_2`, имеет вид:
`zeta_1 * (bar zeta_2 - bar z) - zeta_2 * (bar zeta_1 - bar z) + z * (bar zeta_1 - bar zeta_2) = 0`.
(Предлагаю убедиться в этом.)
Уравнение окружности на плоскости с центром в точке `A(x_1, y_1)` и радиуса `r` имеет вид: `(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r^2`.
Уравнение окружности на комплексной плоскости с центром в точке `zeta` и радиуса `r` имеет вид:
`(z - zeta) * (bar z - bar zeta) = r^2`
(Предлагаю убедиться в этом.)
На время отвлечёмся от комплексных чисел, обратимся к матрицам, и получим ещё несколько вводных утверждений.
Пусть `det{A, B}` — определитель матрицы `((a_1, a_2), (b_1, b_2))`, где `A = (a_1, a_2)`, `B = (b_1, b_2)`.
*Барабанная дробь...*
Лемма 1: Точки `X`, `Y`, `Z` плоскости лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда `det{X, Y} + det{Y, Z} + det{Z, X} = 0`.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Можно воспользоваться тем фактом, что `det{A, B}` — это ориентированная (т.е. возможно, с отрицательным знаком) площадь параллелограмма, построенного на векторах `A` и `B`.
Рассмотрим теперь несколько лемм, связанных с комплексными числами и геометрическими понятиями.
Сначала введём два обозначения.
Выражение `(z_1, z_2, z_3) = (z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)` назовём простым отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`.
Выражение `(z_1, z_2, z_3, z_4) = ((z_1 - z_3) / (z_2 - z_3)) : ((z_1 - z_4) / (z_2 - z_4))`, т.е. результат деления простых отношений `(z_1, z_2, z_3)` и `(z_1, z_2, z_4)` назовём двойным отношением комплексных чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4`.
Всё, приступаем к леммам.:-)
Здесь и далее мы считаем, что комплексные числа `z_1`, `zeta_1` и т.д. все попарно различны.
Лемма 2: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3` лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда их простое отношение `(z_1, z_2, z_3)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Следует заметить, что простое отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно простое отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
Лемма 3: Точки `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` лежат на одной прямой или окружности тогда и только тогда, когда их двойное отношение `(z_1, z_2, z_3, z_4)` вещественно.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно. Аналогично, следует заметить, что двойное отношение зависит от порядка чисел, в него входящих, но если одно двойное отношение, составленное из чисел `z_1`,` z_2`,` z_3`, `z_4` вещественно, то и остальные — тоже (это надо доказать).
От прямых постепенно переходим к окружностям.
Лемма 4: Если `z` — точка пересечения касательных в точках `zeta_1`, `zeta_2` к единичной окружности, то `z = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`. См. рис. 1.
Рис. 1.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
Лемма 5: Если на единичной окружности расположены точки `a`, `b`, `c`, `d`, то точка `e` пересечения прямых `ab` и `cd` задаётся фомулой `e = ((bar a + bar b) - (bar c + bar d)) / (bar (ab) - bar (cd))`. См. рис. 2.
Рис. 2.
Доказательство: Предлагаю доказать самостоятельно.
И вот мы добрались до основных теорем.
Теорема 1 (Ньютон): В описанном около окружности четырёхугольнике середины диагоналей и центр окружности лежат на одной прямой. См. рис. 3.
Рис. 3.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
По лемме 4:
`z_1 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_4)`,
`z_2 = 2 / (1/zeta_1 + 1/zeta_2)`,
`z_3 = 2 / (1/zeta_2 + 1/zeta_3)`,
`z_4 = 2 / (1/zeta_3 + 1/zeta_4)`.
Далее, по свойству координат середины отрезка:
`t_1 = z_1 + z_3`,
`t_2 = z_2 + z_4`.
Далее, по лемме 2 можно показать, что `t_1`, `t_2`, `0` — лежат на одной прямой, что и даст доказательство теоремы.
Теорема 2 (Эйлер): В любом треугольнике центр описанной окружности, точка пересечения высот и точка пересечния медиан лежат на одной прямой (прямой Эйлера). См. рис. 4.
Рис. 4.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее.
Обозначим данный треугольник `ABC` и разместим его так, чтобы его вершины имели координаты `C = (0, 0)`, `B = (a, 0)`, `A = (b * cos phi, b * sin phi)`.
Нетрудно найти координаты всех трёх интересующих нас точек, предлагаю сделать это самостоятельно.
Для точки пересечения медиан `H`, должно получиться `H = ((b * cos phi + a) / 3, (b * sin phi) / 3)`.
Для точки пересечения высот `K` должно получиться `K = (b * cos phi, (a - b * cos phi) * ctg phi))`.
Для центра описанной окружности `O` должно получиться `O = (a / 2, (b - a * cos phi) / (2 * sin phi))`.
Далее, по лемме 1 или по лемме 2, или по уравнению прямой для комплексных чисел, или по уравнению прямо для действительных чисел — можно показать, что `H`, `K`, `O` — лежат на одной прямой, что и доказывает теорему.
Теорема 3 (Гаусс): Пусть `ABCD` — произвольный четырёхугольник, `E` — точка пересечения прямых `AB` и `CD`, `F` — точка пересечения прямых `AD` и `BC`, `M` — середина `AC`, `N` — середина `BD`, `O` — середина `EF`. Тогда точки `M`, `N`, `O` — лежат на одной прямой. См. рис. 5.
Рис. 5.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или всё доказательство можно провести с помощью леммы 1.
Для начала, запишем выражение из леммы 1 для точек `M`, `N`, `O` и раскроем его, воспользовавшись свойствами определителя:
`det{(A + C)/2, (B + D)/2} +` `det{(B + D)/2, (E + F)/2} +` `det{(E + F)/2, (A + C)/2} =` `1 / 4 *` `(det{A, B} + det{A, D} + det{C, B} + det{C, D} +` `det{B, E} + det{B, F} + det{D, E} + det{D, F} +` `det{E, A} + det{E, C} + det{F, A} + det{F, C})`.
Для завершения доказательства нужно применить лемму 1 к тройкам точек `(A, B, E)`, `(C, B, F)`, `(A, D, F)`, `(C, D, E)` — каждая из которых лежит на одной прямой.
В этой теореме воспользоваться одной из лемм особенно просто.
А вот в следующей теореме мне пришлось внимательно делать много преобразований.
Теорема 4 (Паскаль): Точки пересечения продолжений противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой. См. рис. 6.
Рис. 6.
Доказательство: Предлагаю сначала попробовать доказать геометрически.
Или самостоятельно доказать, используя следующее
Воспользуемся леммой 5, чтобы выразить точки `K`, `L`, `M` через вершины шестиугольника.
`k = ((bar a + bar b) - (bar d + bar e)) / (bar (ab) - bar (de))`
`l = ((bar a + bar f) - (bar c + bar d)) / (bar (af) - bar (cd))`
`m = ((bar b + bar c) - (bar f + bar e)) / (bar (bc) - bar (fe))`
Теперь применим лемму 2 к точкам `K`, `L`, `M`, и после многих преобразований по лемме должны получить, что эти точки лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.
Подведём итоги.
Какие выводы можно сделать из рассмотренных лемм и теорем?
Зачем городить огород, решая задачи элементарной геометрии с помощью комплексных чисел и определителей?
Мне кажется, во-первых, это просто удивительно и здорово, что геометрические задачи можно решать с помощью методов "из других областей математики", не связанных напрямую с геометрией.
А во-вторых, во всех теоремах доказательства с помощью этих методов очень простые по содержанию и сложные только технически. Т.е. если доказывать способом "как компьютер" достаточно сделать один-два простых шага и дальше думать не надо.
Разве не замечательно?:-)
Спасибо за внимание.:-)
Примечание. Это отрывок из книги В.В. Прасолова и В.М. Тихомирова "Геометрия" в моём пересказе.:-)
Спасибо создателю скрипта для отображения формул в кодировке ASCIIMath, а также создателям программы для геометрических построений GeoGebra.:-)
Комплексные числа и определители для элементарной геометрии
Как известно, каждой точки плоскости с координатами `(x, y)` можно поставить в соответствие ровно одно комплексное число `z = x + i * y` так, чтобы первая координата точки была его действительной частью, а вторая — мнимой, при этом для каждого комплексного числа найдётся соответствующая ему точка плоскости.
Уравнение прямой на плоскости:
`A * x + B * y + C = 0`, где `A^2 + B^2 != 0`.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки `A(x_1, y_1)` и `B(x_2, y_2)`:
`(y_2 - y_1) * x - (x_2 - x_1) * y - x_1 * (y_2 - y_1) + y_1 (x_2 - x_1) = 0`, где `(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 != 0`.
А каким будет уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости: `zeta_1` и `zeta_2` `in CC`?
читать дальше
Уравнение прямой на плоскости:
`A * x + B * y + C = 0`, где `A^2 + B^2 != 0`.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки `A(x_1, y_1)` и `B(x_2, y_2)`:
`(y_2 - y_1) * x - (x_2 - x_1) * y - x_1 * (y_2 - y_1) + y_1 (x_2 - x_1) = 0`, где `(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2 != 0`.
А каким будет уравнение прямой, проходящей через две данные точки комплексной плоскости: `zeta_1` и `zeta_2` `in CC`?
читать дальше