Олимпиада "Ломоносов" - 2010 по математике
1
`(sqrt(3) - sqrt(2))^((log_2 3)^(4-x^2)) <= (sqrt(3) + sqrt(2))^(-(log_3 2)^(2x-1))`
2.
В треугольнике АВС АВ=ВС. Точка Е принадлежит АС, DE||BC, FE||AB, D и F принадлежат АВ и ВС соответственно. Найти отношение площади треугольника DEF к площади треугольника АВС, если BF:EF=3:2
3.
Два вкладчика вложили деньги в общее дело. Затем один из них вложил еще 1 млн.руб, его доля возросла на 0,04. Затем он опять вложил 1 млн.руб., доля возросла на 0,02. Найти, сколько еще требуется вложить, чтобы доля этого вкладчика возросла еще на 0,04.
4
`1/sqrt(-x-2)-1/sqrt(x+4)<=1+1/sqrt((-x-2)(x+4))`
5.
54 и 128 - члены геометрической прогрессии. Найти все возможные натуральные члены этой прогрессии
6
(возможно неточное)
Проекция некоторой кривой на плоскость OZX в пространстве задается уравнением `5x+cosz=0`, а на плоскость OYZ уравнением `z=arctg(sqrt(y-3))`. При этих условиях найти проекцию кривой на плоскость OXY.
7.
Найти все значения параметра, при которых система
`{(25^x-13*5^x+a < 0), (12sin^4(pi*x)-cos(4pi*x)=11):}`
имеет хотя бы одно решение.
8.
В треугольной пирамиде `SABC` на ребре `SA` взяты такие точки `M` и `N`, что `AN=NM=MS`
`S_(ABC)=1, S_(BNC)=2, S_(BSC)=sqrt(37)`. Найти `S_(BMC)`
9.
Дан квадратный трехчлен `x^2+9x+47`. Таня и Ваня играют в игру: Таня может за 1 ход увеличить или уменьшить (как ей захочется) коэффициент при `x^2` на 1, Ваня же - увеличить или уменьшить свободный член на число `m`. И так до бесконечности. Ваня получает оценку "пять", если у данного многочлена будут целые корни. Сможет ли Ваня при произвольных действиях Тани получить оценку "пять? При `m`равном а) 2; б) 3
10 (возможно неточное)
В трапеции `ABCD` О- точка пересечения диагоналей. Две окружности, касающиеся друг друга в точке О, пересекают прямую ВС в точках K и L. Также окружности касаются прямой AD в точках А и D сответственно. `AD=3,BC=1`
Найти `AK^2+LD^2`.