Решить интеграл...

[mailraritet]

`int (1+cosx)/(sin^3x)`

Проверьте, пожалуйста, правильно ли решен интеграл... Получается достаточно красивый ответ. Однако, wolfram показает другой очень жуткий ответ:

www.wolframalpha.com/input/?i=integral+%281%2Bc...

@темы: Математический анализ, Интегралы

---

[mad-math]

Гардеробщица выдала одновременно номерки 4 лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого она перепутала все шляпы и повесила их наугад. Найти вероятность того, что ровно два лица получат свои шляпы.

У меня получается `1/2`, в ответе `1/4`. Я действую стандартным способом:
`P(A) = P(A_1) * P(A_2|A_1) * P(B_3|A_2) * P(B_4|B_3) + P(A_1) * P(B_2|A_1) * P(A_3|B_2) * P(B_4|A_3) +`
` + P(A_1) * P(B_2|A_1) * P(B_3|B_2) * P(A_4|A_3) + P(B_1) * P(B_2|B_1) * P(A_3|B_2) * P(A_4|A_3)`
`+ P(B_1) * P(A_2|B_1) * P(B_3|A_2) * P(A_4|A_3) + P(B_1) * P(A_2|B_1) * P(A_3|A_2) * P(B_4|A_3)`

При этом `A_i` - событие, что `i`-ое лицо получило свою шляпу, а `B = not(A_i)`.

@темы: Теория вероятностей

---

[Amicus Plato]

Разумеется, хорошая математика всегда красива. Пол Коэн

Сегодня исполнилось бы 79 лет со дня рождения выдающегося американского математика Пола Джозефа Коэна.
Пишу о нем, в частности, потому, что главным его достижением было доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы. Если пойти чуть дальше, окажется, что речь идет о невозможности ее доказательства в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. А аксиома выбора — это как раз то, что позволяет доказывать многие удивительные вещи, и, в частности, именно благодаря ей возможен парадокс Банаха — Тарского, о котором мы говорили совсем недавно.

Пол Джозеф Коэн (англ. Paul Joseph Cohen; 2 апреля 1934, Лонг-Бренч, Нью-Джерси, США — 23 марта 2007, Стэнфорд, Калифорния, США) — американский математик, профессор Стэнфордского университета.

Достижения
Пол Дж. Коэн достиг значительных успехов в самых разных областях математики.
Вершиной профессиональной деятельности Коэна в области теории множеств стало опубликованное в 1963 году доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы (доказательство невозможности опровергнуть которую сделано в 1940 году Куртом Гёделем).

Вот что он сам говорил по этому поводу:
The notion of a set is too vague for the continuum hypothesis to have a positive or negative answer.

Биография

Его работы оказали большое влияние на становление и развитие математики.
Линдон Бэйнс Джонсон

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 – 23 марта 2007) – профессор Стэнфордского университета, американский математик.
Коэн родился в городе Лонг-Бранч, штата Нью-Джерси на северо-востоке США, в еврейской семье, которая эмигрировала из Польши. Пол был самым младшим из четырех детей своих родителей. Большую часть юности провёл в Бруклине (Нью-Йорк). С девяти лет он воспитывался только матерью, поскольку его родители развелись. С детства мальчик проявлял редкий интерес к математике. Пол Коэн начал изучать высшую математику с самого раннего возраста. Уже в девять лет он читал книги по высшей математике, которые ему приносила старшая сестра из нью-йоркской библиотеки. На протяжении всей своей юности Коэн считался математическим чудом, свои способности он проявлял, участвуя и побеждая в различных математике соревнованиях и олимпиадах.
В 1950 году будущий математик окончил престижную среднюю школу в Нью-Йорке и продолжил образование в колледже Бруклина. Спустя неполных три года оставил колледж так и не получив степени бакалавра, так как бал приглашён в аспирантуру Чикагского университета.
В Чикаго Коэн получил степень магистра в математике в 1954 году, и степень доктора философии в 1958 году.
В 1957 году, еще до присуждения докторской степени, Коэн получил должность преподавателя в университете Рочестера. Затем он провел 1958-1959 учебный год в Массачусетском технологическом институте. С 1959 года по 1961 год Коэн – научный сотрудник в Институте перспективных исследований в Принстоне.
В 1961 году Пол Коэн начал научную и педагогическую деятельность в Стэнфордском университете, где продолжал работать до 2004 года. Преподавания не оставлял до последних месяцев жизни.
Пол Джозеф Коэн достиг значительных успехов в самых разных областях математики. Вершиной профессиональной деятельности Коэна в области теории множеств стало опубликованное в 1963 году доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы (доказательство невозможности опровергнуть которую сделано в 1940 году Куртом Гёделем).
Немного истории. В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум-гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом: "Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным". Другими словами, мощность континуума – наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC – системе аксиом Цермело – Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC.
Коэн прославился на весь мир тем, что в сфере его внимания оказывались самые сложные математические задачи, над решением которых билось все ученое сообщество.
За свои заслуги Пол Коэн неоднократно удостаивался всевозможных ученых премий:
• лауреат премии Бохера (1964) за достижения в области анализа;
• медаль Филдса (1966) – самая престижная математическая награда – за изучение логики (1966);
• Национальная медаль США за научные достижения (1967) – за исследования в области логики. Церемония состоялась в Белом доме 13 февраля 1968 года, медаль вручал 36-й президент Соединённых Штатов Америки Линдон Джонсон;
• являлся почетным членом Лондонского научного общества.
Пол Джозеф Коэн имел множество различных увлечений, в частности, он являлся известным полиглотом: говорил на английском, шведском, французском, испанском, немецком языках и идише. Математик любил играть на фортепьяно, скрипке, пел в стэнфордском хоре и шведской фольклорной группе. Его коллеги отмечали, что любому делу, которым он занимался, Коэн отдавал всю свою энергию и азарт. У него была большая семья, причем со своей женой, шведкой Кристиной, он познакомился во время поездки по Европе (на борту круизного теплохода, следовавшего из Стокгольма в Ленинград).
23 марта 2007 года в Стэнфорде на 73-м году жизни от редкой болезни легких Пол Джозеф Коэн скончался.
(с) math4school.ru/cohen.html

И буквально пара слов о собственно континуум-гипотезе.
Континуум-гипотеза
В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум-гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

История
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
В предположении отрицания континуум-гипотезы `ZFC+neg CH` имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов `alpha` может выполняться равенство `C=aleph_alpha`? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона.

Эквивалентные формулировки
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

• Прямая `RR` может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четверки чисел `a, b, c, d` не выполняется условие `a+b=c+d`.
• Плоскость `RR^2` может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид `y=f(x)` (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или `x=f(y)` (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).
• Пространство `RR^3` можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям `Ox`, `Oy` и `Oz`, соответственно, лишь в конечном числе точек.
• Пространство `RR^3` можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка `P`, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через `P`, лишь в конечном числе точек.

@темы: История математики, Люди

---

ПРО ЗНО 13 РЕШИ

[webmath]

ПРОБНОЕ ЗНО ПО МАТЕМАТИКЕ 30.03.2013

webmath.exponenta.ru/zpro.html

@темы: ЗНО, Полезные программы

---

[GippoRex]

Добрый вечер, участники!
Требуется ваша помощь по поверхностям второго порядка (тега более подходящего не нашла).
Дано:

Задача 1

1) `x^2+2*y^2-z^2-2x+4y+2=0`
Надо привести к каноническому уравнению и определить тип поверхности. Я дополнила до полного квадрата и получила это:
`(x-1)^2 +2*(y+1)^2-z^2=1`
Вопрос - куда деть двойку перед y?

Задача 2

2) `x^2-2x+z^2=0`
Ну, тут проще. В итоге получила `(x-1)^2 +z^2=1` Это эллипсоид?
+

Задача 3

3) `3*x^2+18x+4y+31=0` Задание то же самое. Получилось:
`3*(x+3)^2+4y=-4`
Что делать, если нет `Y^2`? :c

@темы: Аналитическая геометрия, Линии второго порядка

---

Решить предел

[mikhay76]

Здравствуйте. Очень прошу вас помочь мне с решением данного предела:
lim (sin(x)*ln(e^(x) - 1)
x -> к бесконечности.
По идее нужно привести это к неопределённости, но вот не совсем понимаю, как данном случае решить этот предел

@темы: Математический анализ

---

Комплексные числа

[GoyaEgor]

Найдите `(1+sina+icosa)^8` Хотел заменить 1+sina, а не на что.

@темы: Комплексные числа

---

[je sens diary]

проверить.

Дано: А(-2;0;-4) В(1;1;1) С(2;-1;2)

Найти:

2. Площадь треугольника

3. Длину его высоты,опущенной из вершины С на сторону (вектор)АВ.

то что получилось

@темы: Векторная алгебра

---

Решить интеграл

[mailraritet]

Подскажите, пожалуйста, каким методом решать интеграл...

`int ((sin^2x)/(1+cos^2x))dx`

@темы: Математический анализ, Интегралы

---

Решить интеграл

[alligator76]

Требуется решить интеграл
`int (cos x +sin x)/ sin (2x) dx`

Пробовал расписать как
`int (cos x +sin x)/ sin (2x) dx=int (cos x +sin x)/ (2sin x cos x) dx = int 1/ (2sin x) dx+ int 1/ (2cos x) dx`

А что делать дальше?

@темы: Интегралы

---

[wpoms.]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Третий этап - Первый уровень


Tercera Fase - Nivel 1
Условия на испанском

1. Дистрибьютор, постоянно путешествующий по стране, работает по такому графику: он работает четыре дня после чего два дня отдыхает, потом снова работает четыре дня после чего два дня отдыхает и т.д. В прошлом году он отдыхал 1 и 2 января. Сколько дней отдыхал дистрибьютор в прошлом году?

2. Дон Аварон продает мешки с рисом и сахаром по 10 кг каждый, однако на самом деле каждый мешок весит лишь 9,60 килограмма. Однажды торговец купил у него 7 мешков риса и несколько мешков сахара, добравшись до своего магазина и взвесив купленный товар торговец с удивлением обнаружил, что товар весит на 6 килограммов меньше положенного. Сколько мешков сахара купил торговец?

3. В начале встречи, когда пятая часть всех людей стояла, четверть от общего числа стульев были свободны. После того, как все сели на стулья, осталось три незанятых стула. Сколько человек присутствовало на встрече?

4. На рисунке изображен четырехугольник `ABCD`, разделенный на шесть треугольников (их основания находятся на диагонали `AC`). Площади четырех треугольников указаны на рисунке.

Чему равна, в кв. см., площадь четырехугольника `ABCD`?

5. Один пакетик чая можно использовать для приготовления 2 или 3 чашек чая. Роксана и Сара купили упаковку чайных пакетиков и разделили пакетики поровну. Оказалось, что Роксана приготовила 57 чашек чая из всех своих пакетиков, в то время как Сара приготовила 83 чашки чая из своих пакетиков. Сколько пакетиков чая было в упаковке?

6. В примере на сложение (он изображен на рисунке) каждый символ обозначает цифру и все цифры от 1 до 9 используются ровно один раз. Какую цифру обозначает символ `Delta`?

7. Все натуральные числа записывают по спирали, так как это показано на рисунке:

Например, над числом 1 написано число 8, над 7 написано 22. Если мы продолжим записывать числа и дальше, то какое число будет расположено над числом 2012?

8. У меня есть 9 шаров, помеченных числами от 1 до 9. Я хочу покрасить шары в красный или синий цвет, так чтобы выполнялись следующие условия:
■ Если два шара помечены различными числами `a` и `b`, шар, помеченный числом `b`, покрашен в красный цвет и `a + b <10`, то шар помеченный числом `a + b` должен быть покрашен в красный цвет.
■ Если два шара помечены различными числами `a` и `b`, шар, помеченный числом `b`, покрашен в синий цвет и `a + b <10`, то шар помеченный числом `a + b` должен быть покрашен в синий цвет.
Сколькими способами можно покрасить шары, если по крайней мере один шар должен быть окрашен в каждый цвет?

9. Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. `C` - множество всех больших единицы делителей числа `8775`. Рассмотрим `k` последовательных натуральных чисел, каждое из которых взаимно просто с некоторым элементом множества `C`. Найдите наибольшее возможное значение числа `k`.

10. Сколькими способами можно закрасить 4 клетки доски размером `4 times 4`, если каждый ее фрагмент размером `2 times 2` должен содержать, по крайней мере, одну закрашенную клетку?

Продолжительность - 2 часа

---

Задания и ответы ONEM 2012

@темы: Олимпиадные задачи

---

уравнение с параметром

[rom7]

sqrt(x^2-5x)+sqrt(x^2-9x+20)=sqrt(a)*sqrt(x-5)

Нужно найти минимальное а, при котором уравнение имеет 2 корня (в ответах а=11)

Один корень будет 5 при любом а>0. ОДЗ: х>5
Вынеся общий множитель sqrt(x-5), получил уравнение

sqrt(x)+sqrt(x-4)=sqrt(a)
Т.е задача сводится к нахождению а, при котором это уравнение имеет 1 корень. Но 11 не получается никак

@темы: Задачи с параметром

---

Стереометрия

[lsssssa]

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды 5см. Высота 4 см. Найти объем пирамиды
Не уверена что правильно:V=h aквадрат/4*корень из 3
Получается 14,49см кубических

@темы: Стереометрия

---

Стереометрия

[lsssssa]

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды равна Q, боковая поверхность S
Найти объем пирамиды. Как найти высоту

@темы: Стереометрия

---

Тригонометрия

[armen_98]

Здравствуйте!
Подскажите пожалуйста как начать решение вот этой задачи:
Сколько рeшeний имeeт уравнение `sin (x) - sin (15x)*cos (x)=1.5`

@темы: Тригонометрия

---

Касательная к графику

[~Solominka~]

Найдите значение параметра a, при котором касательная к графику y = a*sinx + a в точке с абсциссой x= pi/6 параллельна прямой y=x. Напишите уравнение этой касательной.

Я нашла производную y'=a*cosx. Так как прямые параллельны, то угловой коэффициент одинаков. К=1.
Находим а. Для этого приравниваем a*cosx=1; a*sqrt(3)/2=1; a=2/sqrt(3)
А как составить уравнение?

@темы: Задачи с параметром, Касательная

---

Помогите решить задачи по геометрии.

[pig31]

1) Основание прямого параллелепипеда -параллелограмм со сторонами 13 и 14 см и диагональю 15 см. Найдите объем параллелепипеда, если его сечение, проходящее через боковое ребро и меньшую высоту - квадрат.
2) основание параллелепипеда - квадрат, все боковые грани - ромбы. Две смежные боковые грани наклонены к плоскости основания параллелепипеда под углом B(бетта). Высота параллелепипеда равна H. Найдите объём параллелепипеда.
Буду очень благодарна, если вы хотя бы подскажите.)

@темы: Стереометрия

---

[|Ksandr|]

Здравствуйте,
возникла проблема при решении дифф. уравнения.

`y' = cos((5x + 3y)/x)^2 + y/x`

Заменила `z = y/x` , получила

`z'x = cos(5 + 3z)^2`

`dz/cos(5+3z)^2 = dx/x`

Собственно, проблема с интегралом в левой части, не понимаю, как его решить. Заранее спасибо)

@темы: Дифференциальные уравнения

---

Объем тела вращения

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Найти объем тела вращения вокруг оси `OX`
`x=2sin^3 t`
`y=3cos^3 t`
для этого надо найти `y(x)` и числа `a`,`b` - границы интегрирования в интеграле `int_a ^b (y^2(x))dx`
граница интегрирования, насколько я понимаю, это пересечение функций `x` и `y`?

@темы: Приложения определенного интеграла

---

Помогите.На завтра

[000lika111]

В прямой треугольной призме ABCA1B1C1, угол ACB=90 градусов, АС=ВС=а. Прямая B1C составляет с плоскостью грани АА1В1В угол 30 градусов. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

@темы: Стереометрия