док-ть тождество

[Anny_T]

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, в доказательстве тождества.

`2*(1/sin(4*alpha)-tg(7*pi/4+4*alpha))+tg(5*pi+alpha)=ctg(alpha)`

Упрощала левую часть и дошла до
`2*(1/sin(4*alpha)+(cos(4*alpha)-sin(4*alpha))/(cos(4*alpha)+sin(4*alpha)))+tg(alpha)`
Дальнейшие мои преобразования только увеличивают выражение. Натолкните на правильный путь

@темы: Тригонометрия

---

Интеграл

[ДОБРЫЙВЕЧЕР]

Проверьте правильность взятия интеграла:
`int((sin x*dx)/(5+3 sinx))`
делаем замену `t=tg (x/2)` `=>` `int(((2t)/(1+t^2))((2dt)/(1+t^2)))/(5+3((2t)/(1+t^2)))``=``int((4tdt)/((1+t^2)^2)/(5+3((2t)/(1+t^2)))``=int((4tdt)(5+((6t))/(1+t^2)))/(1+t^2)^2``=20 int((tdt)/(1+t^2)^2)+24 int t^2(1+t^2)dt` скобки знаменателя раскрываем `=20(int tdt+int (dt)/(2t)+int (dt)/(t^3))+24(int t^2dt+2 int t^4dt+int t^6dt)` и дальше по таблице

@темы: Интегралы

---

Теория игр и исследование операций. Очереди.

[Moder-face]

Доброго времени суток!

Помогите с решением, пожалуйста!

В порту имеется один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока равна a (судов в сутки). Среднее время разгрузки одного судна равно b. Стоимость простоя одного судна в течение суток равна с. Что выгоднее: оставить все без изменений или тратить дополнительно в среднем d (в пересчете на сутки), уменьшая время обслуживания с b до b1? a=5/4, b=14/7, c=0,8; d=4, b1=14/10.

как решала

В данной ситуации применяла формулу для первого варианта со средним временем разгрузки, равным b.
Lоч*Tоч*с
1/Μ=b=14/7
Λ=a=5/4
Но, как видно, Λ больше Μ , следовательно, Ρ больше единицы. И в формуле Lоч знаменатель (1-Ρ ) получится отрицательным.
Подскажите, пожалуйста, что не так?

@темы: Математика в экономике

---

Дискретная математика!

[sengav07]

Помогите пожалуйста! С помощью кругов Эйлера доказать тождество: А+А=пустое множество (+ в кружочке, пустое множество-перечеркнутый круг)

@темы: Дискретная математика

---

Ряды

[Alinarh]

Помогите с примером.
`sum_{n=1}^(infty) (1)/((n+1)(lnn)^3)`
Какой признак применить?

@темы: Ряды

---

Математический анализ, площадь фигуры

[Sunline1990]

Здравствуйте! Есть такое задание:
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах:
`r=2sqrt(3)acos(varphi)`;` r=2asin(varphi)`

Мое решение

1.http://static.diary.ru/userdir/2/9/4/2/2942057/78016343.jpg
Здесь записал ОДЗ каждой функции
2. http://static.diary.ru/userdir/2/9/4/2/2942057/78016349.jpg
Нарисовал график. Тут не понял, искомая площадь-это площадь всей закрашенной фигуры, верно? Нашел угол, под которым пересекаются кривые.
3.http://static.diary.ru/userdir/2/9/4/2/2942057/78016356.jpg
Начал искать площадь всей закрашенной фигуры, разбив ее на две части. Считаю первый интеграл
4. http://static.diary.ru/userdir/2/9/4/2/2942057/78016363.jpg
...и второй.

Не знаю, правильно ли я рассуждаю. Прошу помочь исправить, если что-то не так. Заранее спасибо!

@темы: Приложения определенного интеграла, Математический анализ

---

Математическая логика

[Полосатый_Пофигист]

Добрый вечер!
Понимаю и чувствую, что задания несложные, но под поздний вечер голова уже не варит А завтра днём уже сдавать сию домашнюю работу.
Задания в процессе решения, но дальше я застреваю - либо попросту туплю, либо где-то в начале уже чего-то напутал. Хэлп :'С

Всё о задачах

Условия заданий:

3) Упростите систему условий:
`A subseteq (-B) cup C`
`-D subseteq (-A) cup (-B) cup (-C)`
`BC subseteq (-A) cup (-D)`
Приведите пример диаграммы Эйлера-Венна, для которой выполнены все данные условия. Если такая диаграмма не существует, то докажите это.

4) Дано уравнение с одним неизвестным множеством X.
`-XA otimes B = A - B`
Найдите необходимые и достаточные условия для множеств A и B, при которых данное уравнение имеет решение. Выразите решение уравнения через известные множества A и B.

5) Дана система уравнений с одним неизвестным множеством X.
`AX cup B(-X) = C`
`BX cup A(-X) = -C`
Найдите необходимые и достаточные условия для множеств A, B и C, при которых данная система уравнений имеет решение. Выразите решение системы через известные множества A, B и C.







И глупые потуги :С

3

4

5

Заранее спасибо :З

@темы: Математическая логика

---

Мат логика. Аксиоматический метод доказательства

[Sunman61]

Доброго времени суток. Нужно доказать с помощью аксиом выражение x-> (-x ->y)
Систему аксиом я давал тут (извините за ссылку, перепечатывать все очень долго)
dxdy.ru/topic68463.html

Если кто-то может помочь советом с остальными заданиями, тоже буду благодарен.

@темы: Математическая логика

---

[Amicus Plato]

Позавчера, 25 марта, исполнилось 475 лет со дня рождения Христофора Клавия.

Википедия на этот раз очень лаконична.
Клавий (Christophorus Clavius; 1537, Бамберг — 1612, Рим) — германский математик и астроном. Прославился своим участием в комиссии по календарной реформе, созданной папой Григорием XIII; по существу является автором григорианского календаря
Ему было поручено папой Григорием XIII преобразование календаря. Причиной реформы было смещение фактического дня весеннего равноденствия на 10 марта, в то время пасхалия требует брать в расчёт 21 марта из юлианского календаря.
Из его трудов наиболее интересны:

• «Euclidis elementorum libri XVI cum scholiis» (1574);
• «Gnomonices libri VIII» (1581);
• «Calendarii romani gregoriani explicatio jussu Clementis VIII» (1603);
• «Computus ecclesiasticus per digitorum articulos et tabulas traditus» (1603).

Его именем назван третий по величине кратер на видимой стороне Луны.

---

Вообще, про Христофора Клавия в интернете не так уж и много информации...
Вот, нашлась биография:

ХРИСТОФОР КЛАВИЙ (CHRISTOPHORUS CLAVIUS), 1537 - 1612
Христофор Клавий, иезуит, астроном и преподаватель математики в Римском коллегиуме (известном сегодня, как Папский Григорианский университет), вошел в историю как создатель григорианского календаря.

Христофор родился в Бамберге в 1537 году в семействе Шлюссель. По старой традиции, он перевел свою фамилию (Schlüssel – «ключ») на латинский язык и стал называться Клавий (Clavis – «ключ»). В 1555 году он вступил в основанный Игнатием Лойолой (1491-1556) монашеский орден иезуитов, где и получил первое образование. Вслед за Педро де Фонсека, известным как «португальский Аристотель», Христофор Клавий поступил в знаменитый Коимбрский университет. Отучившись в Коимбре, Христофор начал изучать теологию в Римском коллегиуме, а позже и сам стал преподавать там математику. Будучи преподавателем, Клавий написал несколько книг по математике, что в значительной мере способствовало ее распространению как науки. В 1574 году он издал и прокомментировал «Начала» Евклида, а в 1608 году написал учебник по алгебре.

Помимо математики и преподавания, Клавий серьезно занимался астрономией и стал основоположником научной работы Ватиканской обсерватории, где разработал несколько астрономических инструментов. Он состоял в переписке с Галилео Галилеем, обсуждая новые открытия в движении небесных тел, сделанные с помощью первого телескопа.

В 1582 году Христофор Клавий принял участие в комиссии по календарной реформе, инициированной папой римским Григорием XIII (1572-1585). Реформа, продиктованная последними астрономическими изысканиями, была призвана ликвидировать двухнедельное отставание прежнего юлианского календаря по отношению к солнечному году. Из-за неточностей во времени расчета обращения Солнца, дата весеннего равноденствия стала смещаться, а ведь именно по ней определялась христианская Пасха. Реформа была подготовлена Христофором Клавием совместно с итальянским врачом, астрономом и хронологом Алоизием Лилиусом (1510-1576) к началу октября 1582 года, и новый грегорианский календарь был официально введен в использование 4 октября. Так, вслед за четвергом 4 октября наступила пятница 15 октября.

Первыми на григорианский календарь перешли Испания, Италия, Португалия, Речь Посполитая и Франция, а через год и многие другие европейские страны. Россия приняла григорианский календарь в 1918 году.

Умер Христофор Клавий в Риме 6 февраля 1612 года. Сегодня его именем назван третий по величине кратер в южной части видимой стороны Луны.

Отсюда: www.cult-turist.ru/country-topics/2555/?q=524&i...

@темы: История математики, Люди

---

[sssChromesss]

Здравствуйте, проверьте правильно ли. Спасибо.

Пример y= ((x+1)^2)/(x-2)
Нужно:
1. Найти ООФ (область определения функции);
2. Четность, нечетность ф-и;
3. Вертикальные асимптоты;
4. Поведение ф-и. Горизонтальные асимптоты;
5. Экстремумы и интервалы монотонности;
6. Интервалы выпуклости и точки перегиба;
7. Точки пересечения графика ф-и с осями координат;
8. Построить график ( думаю справлюсь).

Мое решение;

фотка решения

Не могу понять в чем отличие пределов, один из которых стремиться к плюс бесконечности, другой к минус бесконечности. Как знак влияет на решение? Объясните пожалуйста.
Спасибо большое за помощь.

@темы: Пределы, Высшая алгебра

---

[wpoms]

Олимпиада в Перу

ONEM 2012 - Первый этап - Третий уровень
Условия на испанском

1. Бочка с вином весит 265 кг. Наполненная наполовину бочка весит 160 кг. Сколько весит пустая бочка?
A) `40 kg` B) `45 kg` C) `50 kg` D) `55 kg` E) `60 kg`

2. Студент отвечал на вопросы теста, который состоял из трех частей. В первой части было 25 вопросов и он правильно ответил на 60% вопросов, во второй части было 30 вопросов и он правильно ответил на 70% вопросов, в третьей части было 45 вопросов и он правильно ответил на 80% вопросов. На какой процент вопросов от общего числа вопросов теста правильно ответил студент?
A) `68%` B) `70%` C) `72%` D) `74%` E) `76%`

3. У Хуана есть три монеты по S/. 2 и достаточно много монет по S/. 5. Какой счет он не сможет оплатить не получая сдачи?
A) `35` B) `36` C) `37` D) `38` E) `39`

4. Вычислите значение `(tan 35^o * tan 55^o * tan 60^o * tan 65^o)/(ctg 25^o * ctg 40^o * ctg 45^o * ctg 50^o)`
A) `sqrt(2)` B) `1` C) `sqrt(3)` D) `sqrt(2)/2` E) `sqrt(3)/3`

5. Какую цифру нужно удалить из числа 43620 для получения четырехзначного числа, кратного 105?
A) `4` B) `3` C) `6` D) `2` E) `0`

6. Дон Хосе имеет в своем хозяйстве уток и кроликов. При подсчете он понял, что разность количества кроликов и уток равна половине от общего числа животных. Каково отношение числа кроликов к количеству уток?
A) `3/2` B) `2` C) `5/2` D) `3` E) `4`

7. В прямоугольном треугольнике величины острых углов равны `theta` и `alpha`. Если `sin theta * tg alpha = 1/3`, то чему равно значение `ctg alpha`.
A) `sqrt(2)/2` B) `sqrt(2)` C) `2sqrt(2)` D) `2` E) `4`

8. Дан прямоугольный треугольник `ABC` с прямым углом `B`. Пусть `D` - основание высоты опущенной из точки `B` на гипотенузу `AC`. Если `BC = 2*AD`, то чему равно значение выражения `tg C * cos A`.

A) `1/4` B) `1/2` C)`1` D) `2` E) `4`

9. Поместите цифры 4, 5, 7, 8 в квадраты на рисунке (каждую цифру можно использовать только один раз), так чтобы частное являлось целым числом. Найдите сумму цифр этого частного.

A) 5 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

10. Натуральные числа `a, b, c, d` удовлетворяют неравенствам `2a < b`, `3b < c` и `4c < d`. Найдите наименьшее возможное значение `d`.
A) `25` B) `29` C) `37` D) `39` E) `41`

11. Цифры `a, b, c, d` удовлетворяют равенству `(bar{aba})^2 = (bar{bc})^3`. Вычислите значение суммы `a + b + c`.
A) `16` B) `8` C) `15` D) `12` E) `18`

12. На встрече каждый участник или участница поздоровались не менее чем с двумя мужчинами и тремя женщинами. Чему может быть равно наименьшее количество участников встречи?
A) `8` B) `4` C) `6` D) `7` E) `5`

13. На рисунке нарисованы два куба, длина ребра большего куба равна 5 м и длина ребра меньшего куба равна 3 м. Кубы склеены и образуют новое тело. Художник хочет покрасить это тело (в том числе основание большого куба). Если одной банки с краской хватает для окраски ровно 1 кв. м. поверхности, то сколько банок краски потребуется художнику?

A) `170` B) `179` C) `186` D) `195` E) `204`

14. На рисунке показан прямоугольный треугольник, длины его катетов равны 6 см и 8 см. На проведенной к гипотенузе высоте выбраны две точки, расстояние между которыми равно `x`. Если сумма площадей заштрихованных областей составляет 19 кв. см., то чему равен `x`?

A) `1/2 cm` B) `1 cm` C) `2 cm` D) `sqrt(5) cm` E) `1/5 cm`

15. Для всех натуральных чисел `n` определим значение функции `f(n)` как наименьшее натуральное число, такое что `n * f(n)` является кратным 6. Например, `f(2) = 3` и `f(9) = 2`. Вычислите значение суммы `f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(99) + f(100)`.
A) `345` B) `357` C) `347` D) `356` E) `350`

16. `a` и `b` - различные действительные числа, удовлетворяющие равенствам: `a^2 - 1 = b` и `b^2 - 1 = a`. Вычислите `a^3 + b^3`.
A) `-2` B) `-1` C) `0` D) `1` E) `2`

17. Некоторые из клеток доски `4 times 4` должны быть окрашены. На рисунке показаны доска и числа, соответствующие количеству клеток, которые должны быть окрашены в соответствующей строке или столбце. Найдите наибольшее возможное значение `a + b`.

A) `4` B) `5` C) `6` D) `7` E) `8`

18. Величины углов остроугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию, кроме того, основания его высот являются вершинами прямоугольного треугольника. Найти наибольший угол исходного треугольника.
Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что в любом треугольнике три высоты проходят через одну точку.
A) `75^o` B) `45^o` C) `80^o` D) `60^o` E) `85^o`

19. `a, b, c` - корни уравнения `x^3 + 3x^2 + 5x + 7 = 0`. P(x) - многочлен третьей степени, для которого `P(a) = b + c`, `P(b) = c + a`, `P(c) = a + b` и `P(a + b + c) = -16`. Найдите `P(0)`.
A) `-17` B) `11` C) `-14` D) `14` E) `-10`

20. Пусть `ABCD` - выпуклый четырехугольник с `/_ ABC = /_ BCD`, `AB = 6` и `CD = 8`. Известно, что на стороне BC существует точка `P`, такая что `/_ BAP = /_ PAD` и `/_ PDA = /_ PDC`. Найдите `BC`.
A) `4sqrt(3)` B) `10` C) `48/7` D) `8sqrt(3)` E) `14`

Продолжительность - 2 часа

---

Задания и ответы ONEM 2012

@темы: Олимпиадные задачи

---

Помогите решить задачи

[ll1922]

Решите задачу: Из города А в город В выехал автобус, а через 15 минут вслед за ним отправился автомобиль, скорость которого была на 12 км/ч больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса, если известно, что он прибыл в город В на 5 минут позже автомобиля, а расстояние между городами равно 120 км.

Из вершины А прямоугольника АВСD проведен перпендикуляр на диагональ BD, который делит ее на отрезки длиной 9 см и 16 см.
Найти:
а) периметр и площадь прямоугольника ABCD;
б) тангенс угла, образованного меньшей стороной и диагональю;
в) радиус окружности, описанной около прямоугольника ABCD.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Планиметрия, Текстовые задачи

---

Вопрос

[marisn]

Спасибо за Ваш сайт. Много интересной и полезной литературы у Вас в библиотеке. Я учусь в 5 классе. Нравится математика. Не могу понять как происходит поиск по сайту. Может моя задача была решена ранее. Как это узнать? Где добавляется своя задача?

@темы: Поиск

---

[Аромат счастья]

Доброго времени суток) Подскажите пожалуйста как решать эту задачу, через интеграл или как? не могу понять с чего начать решение

У квадратного трехчлена х2+px+q коэффициенты p и q выбраны наудачу из отрезка [0;3]. Какова вероятность того, что квадратный трехчлен
имеет действительные корни?

За раннее спасибо)

@темы: Теория вероятностей

---

Самосопряженный оператор

[Nevemore]

Доказать, что оператор Ay=y''+y', заданный на подпространстве дважды непрерывно дифференцируемых функций из пространства h[1;2], удовлетворяющих граничным условиям y(1)=0, y'(2)=0, НЕ является самосопряженным.
В чем суть, с чего начать?

@темы: Линейная алгебра

---

[MisteryS]

Здравствуйте.Мне нужно вычислись такой неопределённый интеграл
1/((sin(x))^2+2(cos(x))^2)

я дохожу до этого момента : dx/(2-(sin x)^2)...а что делать дальше,не знаю....

@темы: Математический анализ, Интегралы

---

Помогите пожалуйста вычислить неопределённый интеграл

[serega174]

integral (tg^6(x))

@темы: Высшая алгебра

---

Решить интеграл

[mailraritet]

Решаю интеграл:

`int x/(sqrt(x^4+5))=`

Делаю замену:

`y=x^2`; `dy=2xdx`; `xdx=(dy)/2`

Подставляю:

`=1/2 int (dy) / (sqrt(y^2+5))=1/2 ln |y+sqrt(y^2+5)|+C=1/2 ln |x^2+sqrt(x^4+5)|+C`

Wolfram Alpha выдает немного другой результат:

www.wolframalpha.com/input/?i=simplify+integral...

В знаменателе дроби откуда-то появляется `sqrt(5)`. Подскажите, пожалуйста, где делаю ошибку?

@темы: Математический анализ, Интегралы

---

[Haline]

Задание. Найти дифференцируемую функцию, у которой вдоль любой линии семейства `x^2+y^2=xc` сохраняет свое значение `Re (f(z))=u(x,y)`.
`f(z)=u(x,y)+i*v(x,y)`
Я преобразовала уравнение в полярные координаты, получила, что семейство кривых будет `r/cos(varphi)=c`
`f(z)=u(r,varphi)+i*v(r,varphi)`
`u(r,varphi)=h(r/cos(varphi))`
Уравнение Лалпаса в полярные координатах:
`r^2*((partial^2 u)/(partial r^2)) + r*((partial u)/(partial r)) + (partial^2 u)/(partial varphi^2) = 0`
Я нашла производные
`(partial^2 u)/(partial varphi^2) = h''*r*(sin(varphi)/(cos^2(varphi))) + h'*r*(sin^2(varphi)/(cos^3(varphi)))`
`(partial u)/(partial r) = h'*(1/cos(varphi))`
`(partial^2 u)/(partial r^2) = h''*(1/cos(varphi))`
Я подставила все в уравнение Лапласа и получила
`r*h''+h'+h''*tg(varphi)+h'*tg^2(varphi)=0`
И дальше что делать? Как найти h?

@темы: ТФКП

---

Дифференцирование и интегрирование

[jascker]

Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанного из круглого бревна диаметром d, чтобы её сопротивление на сжатие было максимальным.

Интуитивно понято, что, чем больше сечение, тем больше сопротивление. Т.е. нужно найти площадь максимального по площади вписанного в круг прямоугольника. Так же, интуитивно понятно, что вероятнее всего это будет квадрат с диагональю d. Но как связать это с темой дифференцирования и интегрирования - я не понимаю((

@темы: Интегралы, Дифференциальные уравнения