День просветителя

[Amicus Plato]

Он был примером человека, ярчайшей особенностью которого была любовь к познанию, заставившая его посвятить большую часть своей короткой жизни написанию научных трудов. Джулиан Кулидж

Раз день просветителя, почтим великих математиков, точная дата рождения которых неизвестна. Не скажу, что самый великий из них, но равный среди равных Гийом Франсуа Антуан, маркиз Де Лопиталь. Известен только год его рождения. В этом году исполнится 352 года со дня его рождения.


Википедия
Гийом Франсуа Лопиталь (фр. Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, 1661-1704) — французский математик, автор первого учебника по математическому анализу.

Биография
Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил сперва в военную службу, но по слабости зрения вскоре оставил ее и посвятил себя наукам. Состоял членом Парижской академии наук, участник ученого кружка Мальбранша. Был женат на Мари-Шарлотт де Ромий де ла Шенелэ (фр. Marie-Charlotte de Romilley de la Chesnelaye), тоже занимавшейся математикой.
В 1690-х годах занял видное место в школе Лейбница, с новым методом которого его познакомил Иоганн Бернулли в 1692 во время своего пребывания в Париже в поместье Лопиталя.
Главная заслуга Лопиталя заключается в первом систематическом изложении математического анализа, данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» (фр. Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696). В этой книге собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях, а также приводится Правило Лопиталя. В предисловии Лопиталь указывает, что без всякого стеснения пользовался открытиями Лейбница и братьев Бернулли и «не имеет ничего против того, чтобы они предъявили свои авторские права на все, что им угодно». Современников, однако, сильно озадачило то, что Иоганн Бернулли предъявил претензии на все сочинение Лопиталя целиком.
Другое известное сочинение Лопиталя, «Traité analytique des sections coniques», напечатано в 1707 г. Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в том числе о кривой наименьшего времени ската (брахистохрона), о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост. Решение этих задач помогло ему стать в один ряд с Ньютоном, Лейбницем и Якобом Бернулли.

Даже не знаю, есть ли среди читателей этого текста люди, не знающие правила Лопиталя. Оно сильно облегчило жизнь математиков многих студентов при вычисление пределов.

О претензиях, предъявляемых Иоганном Бернулли можно чуть подробнее прочитать на сайте "Математика, которая мне нравится". Этот сайт я время от времени цитирую (и не только я - в свое время о нем писал  VEk).
Правило Лопиталя или правило Бернулли?

И как всегда на высоте сайт math4school.ru Гийом Франсуа Антуан Лопиталь. Его материалами я пользуюсь достаточно часто.

Брахистохрона
В статье о брахистохроне ничего не говорится о Лопитале, как авторе метода ее нахождения. Но поскольку в предыдущем топике речь шла о трактрисе, то брахистохроне здесь самое место.

Брахистохрона (от греч. βράχιστος — кратчайший и χρόνος — время) — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, сонаправленной отрицательной полуоси OY, материальная точка достигнет В из А за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A.
Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

26 января 1697 года Исаак Ньютон решает задачу о брахистохроне — и попутно открывает вариационное исчисление.
Поразительные вещи!

С брахистохроной в отличие от трактрисы всё очень наглядно.

@темы: История математики, Люди

---

День просветителя

[Amicus Plato]

на ... вопрос о том, можно ли по способу Бельтрами осуществить в евклидовом пространстве на некоторой регулярной аналитической поверхности всю плоскость Лобачевского, надо ответить отрицательно Давид Гильберт. Основания геометрии

Сегодня отмечается день просветителя. То есть, в некотором роде, и меня )
По этому случаю оглашу сегодняшнего именинника.
Сегодня, 16 ноября, исполнилось 178 лет со дня рождения итальянского математика Эудженио Бельтрами.


Википедия
Эудженио Бельтрами (итал. Eugenio Beltrami; 16 ноября 1835, Кремона — 18 февраля 1900, Рим) — итальянский математик, известный своими работами по дифференциальной геометрии и математической физике. Сыграл значительную роль в признании неевклидовой геометрии.
1862 — профессор университета в Болонье, преподавал также в Пизе.
1873 — член Национальной Академии деи Линчеи в Риме, с 1898 года — президент Академии.
1873 — профессор университета в Риме.
Основные труды относятся к дифференциальной геометрии, в частности, показал, что геометрия Лобачевского на плоскости локально реализуется на некоторой поверхности в трёхмерном пространстве, называемой псевдосферой или поверхностью Бельтрами, а также установил факт, что любую линейчатую поверхность можно единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической (это утверждение известно как теорема Бельтрами). С его именем также связано доказательство свойства асимптотических линий поверхностей отрицательной кривизны, известного как теорема Бельтрами — Эннепера.

---

Кроме ссылок, это всё, что написано в Википедии. Но мы двинемся чуть дальше.
Сначала разберемся с линейчатыми поверхностями.
Линейчатая поверхность
В дифференциальной геометрии, линейчатая поверхность ― поверхность, образованная движением прямой линии. Прямые, принадлежащие этой поверхности, называются прямолинейными образующими, а каждая кривая, пересекающая все прямолинейные образующие, направляющей кривой. Если p(u) ― радиус-вектор направляющей, a m=m(v) ― единичный вектор образующей, проходящей через p(u), то радиус-вектор линейчатой поверхности есть
r=p(u)+vm(u),
где v ― координата точки на образующей.
Свойства

• Линейчатая поверхность характеризуется тем, что ее асимптотическая сеть ― полугеодезическая.

• Гауссова кривизна линейчатой поверхности `K <= 0`.

• Теорема Бельтрами. Линейчатую поверхность всегда можно и притом единственным образом изогнуть так, что произвольная линия на ней станет асимптотической.

• Теорема Бонне. Кроме того, если линейчатая поверхность F, не являющаяся развертывающейся, изгибается в линейчатую поверхность F', то либо их образующие соответствуют друг другу, либо обе они изгибаются в квадрику, на которой сеть, соответствующая семействам образующих, ― асимптотическая.

• Единственная минимальная линейчатая поверхность ― геликоид.

Линейчатый геликоид

• Линейчатая поверхность вращения ― однополостный гиперболоид, быть может вырождающийся в цилиндр, конус или плоскость.

Линейчатый гиперболоид

• Если все прямолинейные образующие линейчатой поверхности параллельны одной плоскости, то она представляет собой поверхность Каталана.

Еще картинки. Гиперболический параболоид

---

Поверхность Бельтрами (псевдосфера)
Псевдосфера (поверхность Бельтрами) — поверхность постоянной отрицательной кривизны, образуемая вращением трактрисы около её асимптоты. Название подчёркивает сходство и различие со сферой, которая является примером поверхности с кривизной, также постоянной, но положительной.

Псевдосфера

Трактриса (линия влечения или линия погони) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
Такую линию описывает предмет, волочащийся на верёвке длины a за точкой, движущейся по оси абсцисс. Трактриса также является кривой погони.

Трактриса

Псевдосфера впервые исследована Миндингом в 1839 — 1840 гг. В частности, им было показано, что понятия группы движений и конгруэнтных фигур имеют смысл лишь на поверхностях постоянной кривизны. Название «псевдосфера» поверхности дал Бельтрами. Он же обратил внимание на то, что псевдосфера реализует локальную модель геометрии Лобачевского, наряду с моделью Пуaнкаре и моделью Клейна.

---

Нашла ссылку на статью "Тороподобные поверхности" П.В. Путенихина. Полистайте! Любопытно.
Тороподобные поверхности

@темы: История математики, Люди

---

Чемпионы

[wpoms.]

В турнире участвуют `n` игроков. Каждый игрок играет друг с другом только один раз, при этом ничьих не бывает. Игрок `A` считается чемпионом, если для любого игрока `B` верно одно из двух следующих утверждений: (1) `A` выиграл у `B`; (2) `A` выиграл у игрока `C`, который в свою очередь выиграл у игрока `B`. Покажите, что в таком турнире не может быть ровно двух чемпионов.

@темы: Математическая логика, Комбинаторика

---

Здравствуйте, помогите пожалуйста с вопросом)))

[keysonya]

Нужно понять доказательство теоремы Арцело про то, что из семейства равно-степенных и равномерно ограниченных функций, можно выделить равномерно-сходящуюся последовательность.
Доказательство нам давалось через сетку( разбивали на сегменты где по оси ординат-это эпсилант, а по оси абцисс- аргумент функций). Сначала отсеивали функции, таким образом чтобы они сами от себя не отличались больше чем на эпсилант, если модуль разности аргументов меньше дельта. А потом мы брали различия уже между двумя функциями, которые удовлетворяли первому условию. Но почему? Объясните пожалуйста, или подскажите где можно взять объяснения этого докзательства, написанное не слишком заумно?
Заранее, спасибо

@темы: Дифференциальные уравнения, Функциональный анализ

---

[lilia488]

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 60 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на 2 часа 40 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

`50/x-50/(x+60)=2,4`
300-2,4x^2-144x=0
2/4x^2+144x-300=0
D/4=792
Дискриминант/4 кривым получился, может я ошиблась где? Подскажите пожалуйста.

@темы: ЕГЭ

---

Эконометрика

[Ncrs]

Добрый день!
Подскажите пожалуйста литературу по следующему вопросу.

Тема контрольной работы - Модель парной регрессии.
Даны некоторые исходные данные. Необходимо вычислить:
1) коэффициент детерминации R2 в регрессии Yt на Xt при наличии свободного члена. Сделайте выводы;
2) коэффициент детерминации R2 в регрессии Yt на Xt при отсутствии свободного члена. Сравните полученные результаты с результатами предыдущего пункта задачи. Опишите полученные результаты;
3) коэффициент детерминации R2 в регрессии yt на xt при наличии свободного члена, где yt и xt – отклонения переменных Yt и Xt от их средних значений, то есть на . Сделайте выводы;
4) коэффициент детерминации R2 в регрессии yt на xt при отсутствии свободного члена. Сравните полученные результаты с результатами предыдущего пункта задачи. Опишите полученные результаты.

Первые два коэффициента я вычисляю по соответствующим формулам, ниже приведено решение, а остальные два вопроса я не могу понять, в учебниках:
Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика
Доугерти К. Введение в эконометрику
Елисеева И. И., Курышева С. В., Костеева Т. В. и др. Эконометрика
не могу найти соответствующую информацию...
Решение:

http://static.diary.ru/userdir/2/6/8/9/2689607/79883023.jpg

Если не сложно, помогите пожалуйста понять данный материал.
Спасибо заранее, Ирина.

@темы: Поиск книг, Математика в экономике

---

[sayshes]

Ребята, помогите найти книгу Балаян "Задачи типа С3 Уравнения и неравенства."

@темы: Поиск книг

---

Прямоугольные треугольники

[wpoms.]

Треугольники `ABC` и `CED` - прямоугольные, `/_ABC = /_CED = 90^o`(см. рисунок). Найдите `CD`, если `EB = 1/2`, `EC = 1` и `AD = 1`.

@темы: Планиметрия

---

Теория вероятностей. Мат ожидание

[kota1921]

Не могу понять с чего начинать решение задачи. Как определить достаточное количество испытаний и какое распределение выбрать не понятно. Спасибо за помощь.
Два игрока кладут в банку по одному рублю и подбрасывают игральную кость. Тот, у кого выпало больше очков, забирает банку. При равном количестве очков содержимое банки удваивается и игра продолжается. Чему равно среднее значение выигрыша каждого?

@темы: Теория вероятностей

---

Дифференциальная геометрия. Огибающая однопараметрического семейства плоских кривых

[LaMerDuNord]

Дан эллипс. На хордах, параллельных одной из осей симметрии эллипса, как на диаметрах, строятся окружности. Найти огибающую каждого
семейства окружностей.

Общее уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1.
Огибающая для семейства хорд, параллельных OX не будет меняться по OY, то есть будет иметь вид x^2/a^2+y^2/*=1.
То же самое и для OY: x^2/*+y^2/b^2=1.
Нужно найти величину (*), она будет одинаковой для обоих семейств.

@темы: Математический анализ, Дифференциальные уравнения

---

Задача Лапласа с неоднородными граничными условиями

[illuminates]

Здравствуйте, не могу найти константы в решении задачи Лапласа с неоднородными граничными условиями. Задача:

`DeltaU(r,varphi,z)=(1/r)(rU_r)_r+(1/r^(2))U_(varphi varphi)+U_(zz)`
`U(0,varphi,z)` - ограниченность
`U(r_0,varphi,z)=f(varphi)`
`U(r,varphi+2 pi,z)=DeltaU(r,varphi,z)`
`U(r,varphi,0)=f(varphi)`
`U(r,varphi,l)=f(varphi)`

где ` f(varphi)={(u_0in0 < varphi < pi),(-u_0inpi < varphi < 2pi):}`



Задача имеет цилиндрическую симметрию и решается методом редукции, т.е. 1) сначала условия по z выбираются однородными, остальные не меняются, и находится решение. 2) Затем однородными делаю условия только по r. Проблема в том,что в общем решении в п. 1) есть две неизвестные константы С и D, а граничное условие, которое можно применить - только одно. Оно конечно зависит от угла, но тогда и константы для каждой части должны быть разными (?).

Для п. 2) решение вообще получается тривиальным, т.к для нахождения собственных чисел (лямбда) нам остается использовать только модифицированную функцию Бесселя I. Но она имеет нуль только при нулевом аргументе, т.е лямбда = 0, или же константа при функции Бесселя = 0.

Другой путь решения, а именно, если при разделении переменных вместо +лямбда взять -лямбда, приведет также к тривиальному решению, но уже по z, как это видно из подобного решения:

@темы: Уравнения мат. физики

---

Тренировочная работа №1 в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 14 ноября 2013 года 11 класс

[l Shift->stop->end l]

Тренировочная работа №1 в формате ЕГЭ по МАТЕМАТИКЕ 14 ноября 2013 года 11 класс

Первый вариант работы будет опубликован около 14:00

Задания варианта МА10201 картинками

С1.1
а) Решите уравнение
`7*9^(x^2-3x+1)+5*6^(x^2-3x+1)-48*4^(x^2-3x)=0`
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2 ].
С1.2
а) Решите уравнение
`4^(x^2-2x+1)+4^(x^2-2x)=20`
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-1; 2 ].
C2.1
Дана правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` , все рёбра основания
которой равны `2sqrt(7)` . Сечение, проходящее через боковое ребро `A A_1` и середину M ребра `B_1C_1` , является квадратом. Найдите расстояние между прямыми `A_1B` и `AM`.
С2.2
Дана правильная треугольная призма `ABCA_1B_1C_1` , все рёбра основания
которой равны `2` . Сечение, проходящее через боковое ребро `A A_1` и середину M ребра `B_1C_1` , является квадратом. Найдите расстояние между прямыми `A_1B` и `AM`.
C3.1
Решите систему неравенств
`{(log_(6x^2-x-1)(2x^2-5x+3)>=0),((12x^2-31x+14)/(4x^2+3x-1)<=0):}`
С3.2
`{(log_(6x^2+5x)(2x^2-3x+1)>=0),((20x^2-32x+3)/(3x^2+7x+2)<=0):}`
C4.1
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.
С4.2
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB
в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T
а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.
б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 8 и KT = 4.

Часть С c alexlarin.com

@темы: ЕГЭ

---

Непрерывность функции

[timateyn]

`f(x)= {(-2 sin(x), x preceq (-pi/2)), (A sin(x)+B, (-pi/2)<x<pi/2) , (cos(x), x succeq (pi/2)):}`
найти A и B при которых функция будет непрерывна

@темы: Математический анализ, Функции, Пределы

---

И снова пределы

[timateyn]

предел
`lim_(x->infty){x[ln(x+a)-lnx]}`
и мое решение

@темы: Математический анализ, Пределы

---

Не могу решить, хоть убейся >

[gavriil548]

два человека,отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса,находящейся в 3.5км от места отправления.Один идет со скоростью 2.7 км/ч, а другой - со скоростью 3.6 км/ч. На каком расстоянии от точки отправления произойдет их встреча?

@темы: ЕГЭ, Текстовые задачи

---

[Пухлощекий_Страдалец]

При подрыве на любой мине затопляется с вероятностью p(p<=1/n) только один из n отсеков корабля. Корабль гибнет, если будут затоплены все n отсеков. Определить вероятность P гибели корабля при m(m>=n).
Решение.

Пусть `A_k` - затопление k-ого отсека за m взрывов. В таком случае, гибель корабля будет `prod_(k=1)^n A_k`. Нас интересует вероятность этого события.
Дальше преподаватель говорит, что это формулу надо преобразовать в формулу через сумму, и находить вероятности событий. Но я не могу понять, как делать Помогите, пожалуйста.

@темы: Теория вероятностей

---

Юбилей кватернионов

[Alidoro]

lenta.ru/articles/2013/11/13/quaternion/

@темы: Полезные и интересные ресурсы, Высшая алгебра

---

Пределы

[timateyn]

Помогите пожалуйста решить пример
`lim_(x->0)(1+tg^2sqrt(x))^(1/(2x))`=

@темы: Математический анализ, Пределы

---

Сумма чисел

[wpoms.]

Вычислить сумму всех чисел, в записи которых ровно один раз используется каждая нечётная цифра, то есть `13579 + 13597 + ... + 97531`.

@темы: Комбинаторика

---

Помогите найти ошибку

[natalk20]

И снова здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться.

Задача.
Двое стреляют в цель поочереди до первого попадания с вероятностями попадания у первого - 0,7, у второго - 0,8.
а) боезапас не ограничен
б) у каждого по 2 патрона
построить р.р.с.в. X - числа выстрелов в случаях а) и б).

Решение:
б) Р(Х=1)=0,7
Р(Х=2)=0,3*0,8=0,24
Р(Х=3)=0,3*0,2*0,7=0,042
Р(Х=4)=0,3*0,2*0,3*0,8=0,0144

Но при проверке в сумме не получается 1. Где ошибка?

@темы: Теория вероятностей