Трапеция

[Холщовый мешок]

Дана равнобедренная трапеция ABCD, ее основания - AB и CD, диагонали пересекаются в точке X.
Середину ребра AD обозначим через M.
Прямая, параллельная AB, проходящая через X, пересекает ребро AD в точке Y.
Докажите, что точки B, C, M, Y лежат на одной окружности.

Latvijas 73. matemātikas olimpiādes

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Вечное

[Холщовый мешок]

SEND + MORE = MONEY

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Площадь

[wpoms.]

Через точку $F(0; \frac14)$ координатной плоскости проведены две взаимно перпендикулярные прямые, пересекающие параболу $y = x^2$ в точках $A,$ $B,$ $C$ и $D$ (точки названы в порядке возрастания их абсцисс). Разность проекций отрезков $AD$ и $BC$ на ось абсцисс равна $m.$ Найдите площадь четырёхугольника $ABCD.$

@темы: Аналитическая геометрия

---

Товарищи!

[Холщовый мешок]

Товарищи, я не думал, что все так плохо, но похоже на то, что ситуация движется к катастрофе. По полученной информации, Ященка полностью потерял связь с реальностью, возомнил себя великим педагогом и планирует выдать в этом году не просто самый сложный ЕГЭ за всю историю, а прямо дать школьникам на экзамене олимпиадные задачи!

Все подробности в сегодняшнем интервью с работником ФИПИ: youtu.be/Jcw-w9uJ5Xo

vk.com/postypashki?w=wall-76552532_545313

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Знаете ли вы?

[Холщовый мешок]

В феврале 2000 года было 41760 минут, а в феврале этого года - всего лишь 8!

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Треугольник

[Холщовый мешок]

Дан треугольник ABC, в котором AC < BC и /_ACB=60◦.
Точка D, отличная от A, лежит на отрезке AC, при этом AB=BD,
а точка Е, отличная от В, лежит на прямой ВС, при этом АВ=АЕ.
Докажите, что /_DEC = 30◦.

Польша, юниоры, 2023.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Представьте

[Холщовый мешок]

число 1741725 в виде суммы семи седьмых степеней натуральных чисел.

1^7+7^7+4^7+1^7+7^7+2^7+5^7.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Летучая мышь и её собака

[Холщовый мешок]

Бат нохойтойгоо дэлгүүрээс гэр хүртлээ алхжээ. Нохой нь түүнээс 4 дахин хурдан тул түрүүлж гэртээ хүрээд буцаж ирэн Баттай хамт явж гэртээ харив. Дэлгүүрээс гэр хүртэл 1 км зайтал бол Батын нохой нийт хэдэн метр зам туулсан бэ?

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

ОММО-2023

[All_ex]

условия и решения

@темы: Головоломки и занимательные задачи, Олимпиадные задачи

---

Отрезки

[wpoms.]

Дано натуральное число $n.$ На отрезке $[0, n]$ числовой прямой отметили $m$ различных отрезков с целочисленными концами. Оказалось, что среди этих отрезков нельзя выбрать несколько отрезков суммарной длины $n,$ объединение которых совпадало бы со всем отрезком $[0, n].$ (Два отрезка считаются различными, если у них не совпадают пары концов. Смещать отрезки запрещено.) Найдите максимально возможное значение числа $m.$

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

[Leska|Nastya]

Доброе утро!
Поздравляю всех с днём математика!!

Я сделала небольшую викторину по математике и предлагаю всем желающим её пройти:

Викторина по математике

Делала для старших школьников, поэтому вопросы не очень сложные)

---

Делители

[wpoms.]

Докажите, что для любого натурального числа все его натуральные делители можно расположить по кругу так, чтобы среди любых двух соседних делителей один делился на другой.

@темы: Теория чисел

---

Многочлен

[wpoms.]

Существует ли многочлен $p(x)$ с целыми коэффициентами, удовлетворяющий равенствам $p(\sqrt2) = \sqrt2$ и $p(2\sqrt2) = 2\sqrt2 + 2?$

@темы: Теория многочленов

---

Биссектрисы

[Холщовый мешок]

Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов одна биссектриса в два раза короче другой.

mmo.mccme.ru/2023/

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

А2

[Холщовый мешок]

В треугольнике ABC точка E делит медиану AD пополам. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке F. Найдите длину отрезка CF, если BD = BE и AF = 1.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

А1

[Холщовый мешок]

Остроугольный треугольник - это треугольник у которого все углы меньше 90° (90° - это величина прямого угла). Пусть ABC - прямоугольный треугольник с ∠ACB = 90°. Пусть CD - высота проведенная из C к AB, и пусть E - точка пересечения биссектрисы ∠ACD с AD. Пусть EF - высота из E к BC. Докажите, что описанная окружность треугольника BEF проходит через середину CE.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Не взаимно простые

[wpoms.]

Докажите, что для любого натурального числа $n$ существуют взаимно простые натуральные числа $a$ и $b$ такие, что при всех $k$ от 1 до $n$ числа $a + k$ и $b + k$ не являются взаимно простыми.

@темы: Теория чисел

---

Квадрат

[Холщовый мешок]

В квадрат ABCD вписаны окружность K, полуокружность P и четверть окружности Q. Центр четверти окружности Q находится в вершине A, она проходит через точки B и D. Центр полуокружности P совпадает с серединой стороны AD, она проходит через точки A и D. Окружность K касается полуокружности P в точке E, четверти окружности Q в точке F и стороны AB квадрата ABCD в точке G.
а) Выразите радиус окружности K через длину стороны квадрата ABCD.
b) Докажите, что прямая EF параллельна стороне AB.

Словения, 2022, 1 разряд.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Угол

[Холщовый мешок]

Пусть Γ — окружность, и пусть A, B и C — три точки на окружности такие, что △ABC - остроугольный. Прямая, проходящая через A и перпендикулярная BC, повторно пересекает Γ в точке D, а прямая, проходящая через B и перпендикулярная AC, повторно пересекает Γ в точке E.
Покажите, что если |AB| = |DE|, то ∡ACB = 60◦.

Исландия 22-23
точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

@темы: Головоломки и занимательные задачи

---

Описанная окружность

[wpoms.]

Дан треугольник $ABC,$ в котором $\angle CAB = 30^\circ$ и $\angle ACB = 60^\circ.$ На продолжении луча $AB$ за точку $B$ выбирается произвольная точка $D,$ а на продолжении луча $CB$ за точку $B$ отмечается точка $E$ такая, что $\angle BDE = 60^\circ.$ Прямые $AC$ и $DE$ пересекаются в точке $F.$ Докажите, что описанная окружность треугольника $AEF$ проходит через некоторую фиксированную точку, отличную от $A$ и не зависящую от выбора точки $D.$

@темы: Планиметрия