Неравенство

[wpoms.]

Пусть `a,b,c` не равны нулю и `x,y,z` - положительные действительные числа такие, что `x+y+z=3`. Докажите, что `3/2 * \sqrt{1/{a^2} + 1/{b^2} + 1/{c^2}} >= x/{1+a^2} + y/{1+b^2} + z/{1+c^2}`

@темы: Доказательство неравенств

Comments

[Гость]

квадраты неравных нулю чисел суть положительные действительные числа.
условие задачи можно изменить в сторону упрощения.
Пусть `a,b,c` и `x,y,z` - положительные действительные числа. К тому же `x+y+z=3`.
Докажите, что:

`3/2 * \sqrt{1/{a} + 1/{b} + 1/{c}} >= x/{1+a} + y/{1+b} + z/{1+c}`

Далее, x+y+z=3 определяет симплекс в трёхмерном пространстве состоящий из части плоскости x+y+z=3 заключённой внутри оервого октанта. Заметим, что граница симплексу не принадлежит - в силу условия положительности x,y,z.

Для ясности, рассмотрим симплекс К с границей - позволим x,y,z принимать значение 0.

x/{1+a} + y/{1+b} + z/{1+c} есть линейная функция с положительными коэффициентами.

На симплексе К эта функция имеет максимум, этот максимум достигается в одной из вершин.

(3,0,0), (0,3,0) или (0,0,3).

Для доказательства утверждения, таким образом, достаточно показать что 3/2 * \sqrt{1/{a} + 1/{b} + 1/{c}} >=3/{1+a}, или, что то же самое, 1/2 * \sqrt{1/{a} + 1/{b} + 1/{c}} >=1/{1+a}. Случаи (0,3,0) и (0,0,3) рассматриваются аналогично в силу симметрии относительно a,b,c.

Правая сторона от b,c не зависит, к тому же, чем меньше b,c тем больше левая сторона. Положим, что b,c есть произвольно большие числа, практически бесконечности, и тогда неравенство требующее доказательство есть 1/2 * \sqrt{1/{a}} >=1/{1+a}.

Обе стороны положительны - возводим в квадрат - упрощаем:

1/а=>4/(1+2a+a^2)

далее

1+2a+a^2=>4а

далее

1-2a+a^2=>0

далее

(a-1)^2=>0

что верно.

Доказательство завершено.