[Amicus Plato]

Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент. Лемма Цорна

6 июня, в один день с Пушкиным, правда, на 107 лет позже, родился немецкий математик Макс Август Цорн. В этом году ему исполнилось 109 лет.

Википедия
Макс Август Цорн (нем. Max August Zorn, 6 июня 1906, Крефельд — 9 марта 1993, Блумингтон) — американский математик немецкого происхождения. Кроме леммы Цорна (1935), часто используемого инструмента теории множеств, Цорн известен рядом работ в области алгебры (преимущественно теории групп), численного анализа и др.

Биография
Родился в Крефельде (западная Германия). Учился в Гамбургском университете, где в 1930 году защитил диссертацию. После прихода нацистов к власти в Германии решил эмигрировать — хотя родословная Цорна была вполне «арийской», но он участвовал в социал-демократической деятельности.
В 1934 году Цорн прибыл в США, где первые 2 года работал в Йельском университете, затем перешёл в Калифорнийский университет в Лос-Анджелесе, где оставался до 1946 года. После этого и вплоть до отставки (1971) Цорн работал профессором Индианского университета в Блумингтоне.
Жена: Алиса Шлоттау (Alice Schlottau), у них родились сын и дочь.

(Собственно, это и всё, что есть в Википедии про Макса Цорна).

Лемма Цорна
Лемма Цорна (англ. Zorn's lemma), также известная как лемма Куратовского — Цорна (англ. Kuratowski – Zorn lemma), утверждает:
Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент.
Лемма носит имена немецкого математика Макса Цорна и польского математика Казимира Куратовского.
Лемма Цорна, наряду с теоремой Цермело (принцип вполнеупорядочивания) и принципом максимума Хаусдорфа (который, по сути, является альтернативной формулировкой леммы Цорна), является одним из утверждений, эквивалентных аксиоме выбора.

История
Цорн не был первым, кто сформулировал предложение, которое теперь нам известно под названием лемма Цорна. Аналогичные и равносильные лемме Цорна утверждения предлагались математиками и раньше.
В 1904 году Эрнст Цермело доказал теорему, согласно которой каждое множество может быть вполне упорядочено. Для доказательства он привлек «неоспоримый логический принцип», который назвал аксиомой выбора. Сегодня мы знаем, что аксиома выбора, теорема Цермело и лемма Цорна — эквивалентные утверждения.
Принцип максимума Хаусдорфа, сформулированный и доказанный им в 1914 году, является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна.
В 1922 году Куратовски доказал лемму в формулировке, близкой к современной (для семейства множеств, упорядоченных по включению и замкнутых относительно объединения вполне упорядоченных цепей). Практически то же утверждение (в более слабой формулировке — не для вполне упорядоченных цепей, а для произвольных) независимо от него было сформулировано Цорном в 1935 году в его статье «Об одном методе из трансфинитной алгебры». Сам Цорн называл его «принципом максимума» и предлагал включить его в состав аксиом теории множеств и использовать для доказательства различных теорем теории полей вместо принципа вполнеупорядочивания Цермело.
Интересно, что современная формулировка леммы Цорна отличается от той, что была предложена Цорном в его статье 1935 года.
Название «лемма Цорна» впервые ввёл Джон Тьюки в 1940 году.

Формулировки
Существует несколько формулировок леммы Цорна.
Одна из них была приведена выше:
Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном множестве M для всякого линейного упорядоченного подмножества существует верхняя грань, то в M существует максимальный элемент.
Лемма Цорна (первая формулировка). Частично упорядоченное множество, в котором любая цепь имеет верхную грань, содержит максимальный элемент.
В приложениях наиболее удобна следующая формулировка, в которой утверждается существование максимального элемента, который не меньше заданного.
Лемма Цорна (вторая формулировка). Если всякая цепь в частично упорядоченном множестве `M` имеет верхнюю грань, то всякий элемент из `M` подчинен некоторому максимальному.
В оригинальной статье 1935 года Цорн сформулировал свое утверждение для множеств, частично упорядоченных по отношению включения.
Лемма Цорна (третья, оригинальная формулировка). Пусть семейство множеств `\mathfrak{M}` обладает тем свойством, что объединение любой цепи множеств из `\mathfrak{M}` есть снова множество из этого семейства. Тогда `\mathfrak{M}` содержит максимальное множество.
Доказательство эквивалентности этих формулировок можно найти в статье «Утверждения, эквивалентные аксиоме выбора».

Несколько чудесных фото

Ссылки
1. Макс Август Цорн. Архив MacTutor
2. Статья внука Макса Цорна (англ.) Change of Subject
3. ON MAX ZORN'S CONTRIBUTIONS TO MATHEMATICS (pdf)

@темы: История математики, Люди

Comments

[All_ex]

Amicus Plato, Спасибо!...