[Amicus Plato]

25 января (завтра, но, думаю, это не очень страшно) исполняется 170 лет со дня рождения Карла Германа Амандуса Шварца.

Википедия
Карл Герман Амандус Шварц (нем. Karl Hermann Amandus Schwarz; 25 января 1843 — 30 ноября 1921) — крупный немецкий математик, член Берлинской академии наук, профессор Галльского, Цюрихского, Гёттингенского и Берлинского университетов.

Биография
Герман Шварц родился в г. Хермсдорф в семье архитектора. Обучался в гимназии в Дортмунде и там основным его увлечением стала химия. С целью более глубокого изучения этой науки он поступил в Берлинский технический университет. Но под влиянием известных математиков Польке, Вейерштрасса и Куммера (на дочери последнего Шварц впоследствии женился), интересы Шварца сместились в сторону математики, в особенности геометрии. Он защитил докторскую диссертацию в 1864 под руководством Вейерштрасса. В 1865 г. Герман открыл так называемую «минимальную поверхность Шварца», что повлияло на развитие теории минимальных поверхностей, вариационное исчисление, теорию аналитических функций и теорию конформных отображений.
В 1867 Шварц стал приват-доцентом Университета в Галле и преподавал в Цюрихе, а с 1875 возглавил кафедру математики в Гёттингене. После Шварц интенсивно занимался математикой в Берлине, где параллельно возглавил добровольную бригаду содействия пожарным и даже работал на железнодорожном вокзале. В результате он получил замечательные результаты в различных областях математики — исследованиях минимальных поверхностей, в комплексном анализе, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе (где сформулировал неравенство, известное ныне под именем неравенства Шварца), предложил решение проблемы Дирихле для произвольных контуров, составил таблицу формул для эллиптических функций типа Вейерштрасса.
В конце жизни семья Шварца испытывала значительные материальные трудности, что подкосило и без того слабое здоровье учёного. Умер он в Берлине в 1921 году.
Научный вклад
В 1864 году Герман дал элементарное доказательство теоремы Польке — Шварца: всякий невырождающийся полный четырёхугольник можно рассматривать как параллельную проекцию тетраэдра наперёд заданной формы.
В области элементарной геометрии Шварц доказал, что в любой остроугольный треугольник можно вписать только один треугольник с минимальным периметром, причем его вершинами являются основания высот исходного треугольника.
Шварц исследовал понятие симметрии, четко сформулировал и обосновал так называемый принцип симметрии Римана — Шварца.
Доказал принцип Дирихле (принцип ящиков — предложение, утверждающее, что в случае m>n при отнесении каждого из m предметов к одному из n классов хотя бы в один класс попадёт не менее двух предметов). Это чрезвычайно простое предложение применяется при доказательстве многих важных теорем теории чисел, относящихся к приближению иррациональных чисел рациональными, в доказательствах трансцендентности чисел и др. вопросах.
В 1885 г. Шварц с помощью построения основной частоты мембраны впервые доказал существование собственных колебаний для двумерного случая и более высоких размерностей.
В 1890 г. Шварц придумал конструкцию, позже названную «сапогом Шварца». Он показал, что для случая цилиндра единичного радиуса и единичной высоты безобидный на первый взгляд метод триангуляции может дать для площади боковой поверхности любую величину, начиная от истинного значения 2pi до бесконечности. То есть он продемонстрировал один из подвохов, которых нужно избегать, давая определение площади поверхности через приближение многогранниками.
Разработал специальный вид интеграла, носящий название: интеграл Кристоффеля — Шварца. Это позволило аналитически выявлять конформные отображения многоугольных областей. В частности Шварц вычислил, как выглядели бы на кругообразной карте параллели и меридианы страны в виде квадрата.

Поскольку у нас в последнее время случаются казусы с однофамильцами, сразу скажу, что в неравенстве Коши — Буняковского — Шварца Шварц тот самый. В английской Википедии при этом нет никакого Буняковского...

Сапог Шварца
Скопирую статью с картинками отсюда. А на этом сайте она, в свою очередь, перепечатана из Энциклопедии для детей. Т.11. Математика. - М.: Аванта+, 1998. Стр. 366
***
В 1890 г. немецкий математик Герман Шварц придумал конструкцию, позже названную "сапогом Шварца". Вы видите ее на рисунке:

Сапог Шварца

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на n равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные k-угольники, причём соседние k-угольники повёрнуты относительно друг друга на угол 180 °/k. Затем вершины k-угольников соединяются так, что образуется поверхность из 2nk треугольников; каждый её "слой" — антипризма. Если n, k -> oo, то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми. С увеличением k наши k-угольники всё плотнее прижимаются к их описанным окружностям, а вся поверхность — к цилиндру. Можно ожидать, что при n, k -> oo её площадь, т. е. сумма площадей всех треугольных граней, стремится к боковой поверхности цилиндра. Но это совершенно не так!
Посмотрим на Шварцев "сапог" сверху:

Сапог Шварца: вид сверху

Проекция каждой его грани на основание цилиндра — это треугольник, образованный стороной k-угольника и серединой стягиваемой ею дуги окружности. Его площадь зависит только от k; обозначим её sk. Поскольку площадь при проекции может только уменьшиться, полная поверхность "сапога" B(n,k) не меньше 2nk·sk. Теперь для каждого k возьмём такое n=n(k), зависящее от k, что n(k)·sk > 1. При этом выборе n площадь B(n,k) > 2k, т. е. неограниченно возрастает при k -> oo. Поверхность, как настоящий сапог, собирается частыми складками. Более того, можно выбрать такую последовательность n(k), чтобы площади соответствующих многогранных поверхностей сходились к любому (!) заданному числу, не меньшему боковой поверхности цилиндра.

Этот пример демонстрирует те подвохи, которых нужно избежать, давая определение площади поверхности через приближение многогранниками.

Вы можете изготовить модель "сапога Шварца". Разлинуйте прямоугольник из плотной бумаги с одной стороны на ромбы (по красным линиям на рис. 3), а с другой — на горизонтальные полосы (по синим линиям).

Сапог Шварца: развертка модели

Прочертите бумагу по этим линиям тупой стороной ножа. А теперь просто сверните лист в трубку, слегка надавливая на центры красных ромбов, чтобы он лучше складывался по линиям, и склейте противоположные стороны прямоугольника.

---

В английской Википедии есть статья про минимальные поверхности Шварца.
Выглядят совершенно инопланетно.
1.

Поверхность Schwarz P (примитивная)

2.

Поверхность Schwarz D (алмазная)

3.

Поверхность Schwarz Н (шестиугольная)

4.

Поверхность Schwarz CLP (пересекающиеся слои параллельных))

Википедия говорит, что я должна сослаться на автора картинок. С удовольствием:
"Schwarz P, D, H, CLP Surfaces" by Anders Sandberg - Own work. Licensed under CC BY-SA 3.0 via Wikimedia Commons

И просто не могу не привести две ссылки. Если хотите порассматривать всякие поверхности, не только Шварца, но и Шварца в том числе, вам туда!
1. www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/...
2. www.indiana.edu/~minimal/archive/Triply/genus3....
3. И еще ссылка на статью про гофрировки плоскости: ru.convdocs.org/docs/index-204137.html

@темы: История математики, Люди

Comments

[Amicus Plato]

Не представляю, кто писал биографию в Википедии. Я не виновата...

Герман открыл так называемую «минимальную поверхность Шварца»,

в результате он получил замечательные результаты

[VEk]

Спасибо!
Сапог Шварца входит в углубленную программу по геометрии (11 класс) - контрпример к определению площади поверхности (отличие определения площади в планиметрии и стереометрии).

[All_ex]

Amicus Plato, спасибо!...

..

Если ничего не путаю, то в матанализе теорема о равенстве смешанных производных называлась "Теоремой Шварца"... его рук дело?... или снова однофамилец?...

[Груша Вильямс]

Примитивная поверхность Шварца выглядит вполне земной, а именно четвертинка очень сильно напоминает патрубок панельных радиаторов отпления (батарей), только он слегка другой 3 завода вместо шести - два между панелями и другой к водопроводной трубе Возможно даже переходник для труб такой существует, правда совсем неясно какое в нем движение воды будет, явно что-то страшное)