[wpoms]

Всероссийская олимпиада школьников в Вологодской области

Задания 2014/15 у.г.

7 класс

1. Длину прямоугольника увеличили на 1 м, а ширину уменьшили на 1 см. Могла ли площадь прямоугольника уменьшиться?

2. Можно ли расставить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в клетках квадрата $3 \times 3$ так, чтобы в каждом из четырёх угловых квадратов $2 \times 2$ сумма цифр оказалась точным квадратом?

3. Существует ли число, делящееся на 2014, сумма цифр которого равна 2014?

4. Имеется четыре города. Требуется спланировать три двусторонних авиарейса между какими-то парами городов. Сделать это надо так, чтобы из каждого города в каждый можно было добраться с учётом пересадок. Сколькими различными способами можно составить план?

5. Два рабочих, действуя совместно, выполняют задание за 30 дней. Прошло 6 дней совместной работы. Оказалось, что если далее первый рабочий продолжит выполнение задания в одиночку, ему на это потребуется 40 дней. За какое число дней выполнил бы задание второй рабочий, если бы работал в одиночку с самого начала?

8 класс

1. Цену некоторого товара два раза подряд повышали на 25\%. На сколько процентов надо её понизить, чтобы она стала равна цене до повышений?

2. Можно ли расставить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в клетках квадрата $3 \times 3$ так, чтобы в каждом из четырёх угловых квадратов $2 \times 2$ сумма цифр оказалась точным квадратом?

3. Найти количество чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ где $m$, $n$ --- ненулевые десятичные цифры.

4. В коробке имеются шары пяти различных цветов общим количеством 100 штук. Известно, что если извлечь из коробки 90 шаров каким угодно способом, то среди них найдётся хотя бы один шар каждого из пяти цветов. Какое минимальное число шаров из коробки надо достать, чтобы среди них гарантированно присутствовали шары (один или более) хотя бы трёх различных цветов из пяти?

5. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размером $9 \times 11$. Его разрезали по линиям клеток на некоторое количество прямоугольников. Обязательно ли среди них найдётся прямоугольник, периметр которого делится на четыре?

9 класс

1. Найти целую часть числа
$\sqrt{2014+\sqrt{2014+\sqrt{2014+\ldots+\sqrt{2014+\sqrt{2014}}}}},$
где 2014 присутствует в записи 2014 раз.

2. Можно ли расставить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в клетках квадрата $3\times3$ так, чтобы в каждом из четырех угловых квадратов $2\times2$ сумма цифр оказалась простым числом?

3. Назовём автобусный билет абсолютно счастливым, если первые три цифры его номера совпадают с тремя последними с точностью до перестановки (например, 088808, 935395 или 492492). Сколько имеется номеров таких билетов? Номера состоят из шести цифр и могут начинаться с нуля.

4. Дан равносторонний треугольник. В него вписали круг, а затем ещё три круга, каждый из которых касается двух сторон и вписанного круга. Во сколько раз площадь треугольника больше той его части, которая не покрыта кругами? Верно ли, что круги покрывают более 80\% площади треугольника?

5. Найти все действительные числа, удовлетворяющие условию
$\left[\frac{x+1}{3}\right] = [2x-1],$
где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

10 класс

1. Найти целую часть числа
$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots+\sqrt{2013+\sqrt{2014}}}}}.$

2. Имеется пять городов. Требуется спланировать четыре двусторонних авиарейса между какими-то парами городов. Это надо сделать так, чтобы из каждого города в каждый можно было добраться с учётом пересадок. Сколькими различными способами можно составить план?

3. Сколько решений имеет уравнение $\{x\} = \{x^2\}$ на отрезке $x \in [0; 3]$, где фигурные скобки означают дробную часть числа?

4. Дана окружность радиуса 50. На ней расположены центры трёх окружностей радиуса 10, причём первая из них касается второй, а вторая касается третьей. Проводится общая касательная к первой и третьей из этих окружностей, по одну сторону от которой они все лежат. На каком расстоянии от центра исходной окружности находится проведённая прямая?

5. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размером $23\times45$. Его разрезали по линиям клеток на некоторое количество прямоугольников. Обязательно ли среди них найдётся прямоугольник, периметр которого делится на четыре?

11 класс

1. Найти ближайшее целое число для числа
$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+\ldots+\sqrt{2013+\sqrt{2014}}}}}.$

2. Могут ли все вершины равностороннего треугольника быть расположены на графике функции $y = \sin x$?

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции $z = 2 - 3x^2 - 3y^2$, принимаемое на множестве решений неравенства $x^2 + 4x + y^2 - 6y + 3 \le 0$.

4. Назовём автобусный билет абсолютно счастливым, если первые три цифры его номера совпадают с тремя последними с точностью до перестановки (например, 088808, 935395 или 492492). Сколько имеется номеров таких билетов? Номера состоят из шести цифр и могут начинаться с нуля.

5. Дан равнобедренный треугольник $ABC$ с углом $20^\circ$ при вершине $A$. В нём проведён отрезок биссектрисы $BD$. Доказать, что $BC + BD = AD$.


(pdf) yadi.sk/i/mnF2vVw2dsbtz

в комментариях задания 2016/17 у.г., 2017/18 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[aganyaz1974]

Спасибо wpoms! Если возможно выложите пожалуйста условия и решения в формате pdf или doc. Спасибо заранее!

[aganyaz1974]

Очень благодарен Вам wpoms !!!

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[Гость]

Муниципальный этап 2017-18 г.г.

[wpoms.]

2018