[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Ярославская область Задания 2008-2011 г.г. Задания 2013/14, 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Докажите, что 2013 произвольных кусков сыра суммарной массы 2 кг можно разделить на две части по 1 кг, разрезав не более одного куска.

2. Даша задумала натуральное число, умножила его на 11, зачеркнула последнюю цифру результата, полученное число умножила на 5, опять зачеркнула последнюю цифру результата и получила число 100. Какое число задумала Даша? Найдите все возможные ответы и докажите, что других ответов нет.

3. Пешеход вышел из А в В, чтобы придти через 5 часов. Одновременно из В выехал велосипедист, который проезжает это расстояние за один час. Через 50 минут после их встречи из В в А выехал другой велосипедист, который проезжает этот путь за 1 час 40 минут. За сколько минут до своего прибытия в В пешеход встретится со вторым велосипедистом?

4. Можно ли пятью прямыми разбить плоскость на 13 частей?

5. Во дворе стоят 12 столбов. Электрику Петрову дали задание соединить столбы проводами таким образом, чтобы каждый провод соединял ровно два столба, никакие два столба не были бы соединены дважды, и, главное, чтобы для любых четырех столбов нашлось бы ровно три провода, протянутых между этими столбами. Докажите, что электрик Петров не сумеет справиться с этим заданием.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Докажите, что 2013 произвольных куска сыра можно разделить на две равные по массе части, разрезав не более одного куска.

2. Назовем диагональ многоугольника хорошей, если она делит его площадь пополам. Какое наибольшее число хороших диагоналей может быть у выпуклого пятиугольника?

3. Каких чисел среди всех целых чисел от 1 до 1000000 больше и на сколько: делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 не делится, или не делящихся на 5, чья сумма цифр на 5 делится?

4. В треугольнике ABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 – медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольника ABC.

5. Найдите все решения уравнения `x(x+1)(x^2+x+1)=6`.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Найдите положительные решения уравнения `x^2013+2014^2014=x^2014+2014^2013`.

2. В школе 1000 учеников – 500 девушек и 500 юношей. На день святого Валентина каждый юноша послал одну валентинку какой-то девушке. Затем каждая девушка, не получившая валентинку, послала возмущённое письмо одному юноше. Докажите, что не менее 500 учеников ничего не получали.

3. В треугольнике ABC через AA1, BB1 и CC1 обозначим высоты, а через AA2, BB2 и CC2 – медианы. Докажите, что длина ломаной A2B1C2A1B2C1A2 равна периметру треугольника ABC.

4. Докажите, что в любом шестизначном числе можно выбрать несколько (две или больше) подряд идущих цифр, образующих составное число.

5. Имеется неограниченный запас монет в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Известно, что сумму в А копеек можно уплатить В монетами. Докажите, что сумму в В рублей можно уплатить А монетами.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Найдите все решения уравнения `x(x+1)(x^2+x+1)`.

2. Два игрока по очереди записывают натуральные числа от 1 до 4 в клетки таблицы 2x2, причем каждое число может быть записано только один раз. После заполнения всей таблицы отмечается строка, сумма чисел в которой – наибольшая, и столбец, сумма чисел в котором – наибольшая. Выигрышем первого игрока назовем разность между суммой чисел в отмеченной строке и суммой чисел в отмеченном столбце. Какой выигрыш может гарантировать себе первый игрок, как бы ни играл соперник?

3. Найдите наибольшее возможное отношение трехзначного числа `bar{abc}` к числу `bar{ac}+bar{bc}`. Числа не могут начинаться с нуля, т.е. `a!=0` и `b!=0`.

4. Имеется неограниченный запас монет в 1, 2, 5, 10, 20, 50 копеек и в 1 рубль. Известно, что сумму в А копеек можно уплатить В монетами. Докажите, что сумму в В рублей можно уплатить А монетами.

5. Меньшая окружность касается внутренним образом большей окружности в точке A. Через произвольную точку M `!=` A меньшей окружности проведена касательная, пересекающая большую окружность в точках B и C. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Можно ли расставить числа от 1 до 9 в клетках таблицы 3x3, чтобы суммы чисел в любом квадратике 2x2 были одинаковы?

2. Найдите наименьшее значение суммы 1/x+1/y, если известно, что x и y положительны и x+y=2013.

3. Сколько решений в целых числах имеет уравнение 2013(x + y) = xy?

4. Меньшая окружность касается внутренним образом большей окружности в точке A. Через произвольную точку M `!=` A меньшей окружности проведена касательная, пересекающая большую окружность в точках B и C. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

5. Найдите какую-либо непрерывную функцию f(x) такую, что f(f(x))=2x+1 для всех действительных x.

[Гость]

7.2.
182, 183

[Гость]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.