[wpoms.]

Жаутыковская олимпиада по математике. Казахстан Сайт олимпиады Задания 2014 г. (Материалы сайта www.guas.info)

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

X Международная Жаутыковская олимпиада по математике
Алматы, 2014

14 января 2013 года, 9.00-13.30
Первый день

1. На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $ABC$ лежат точки $M$, $N$, $K$ соответственно, не совпадающие с вершинами. Треугольник $MNK$ назовём {\it красивым}, если $\angle BAC=\angle KMN$ и $\angle ABC=\angle KNM$. Докажите, что если в треугольнике $ABC$ существуют два красивых треугольника с общей вершиной, то треугольник $ABC$ -- прямоугольный.

2. Существует ли функция $f:\R\to\R$, удовлетворяющая следующим условиям:
(i) для каждого вещественного $y$ существует вещественное $x$ такое, что $f(x)=y$, и
(ii) $f(f(x))=(x-1)f(x)+2$ при всех вещественных $x$?

3. Даны сто различных натуральных чисел. Назовем пару чисел хорошей, если числа в ней отличаются в 2 или в 3 раза. Какое наибольшее число хороших пар могут образовывать эти сто чисел? (Одно и то же число может входить в несколько пар.)

[wpoms.]

X Международная Жаутыковская олимпиада по математике
Алматы, 2014

15 января 2013 года, 9.00-13.30
Второй день

4. Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами такой, что $P(1+\sqrt3)=2+\sqrt3$ и $P(3+\sqrt5)=3+\sqrt5$?

5. Пусть `U={1, 2, ..., 2014}`. Для натуральных $a$, $b$, $c$ обозначим через $f(a, b, c)$ количество упорядоченных наборов множеств $(X_1, X_2, X_3, Y_1, Y_2, Y_3)$, удовлетворяющих следующим условиям:
(i) $Y_1\subseteq X_1\subseteq U$ и $|X_1|=a$;
(ii) $Y_2\subseteq X_2\subseteq U\setminus Y_1$ и $|X_2|=b$;
(ii) $Y_3\subseteq X_3\subseteq U\setminus (Y_1\cup Y_2)$ и $|X_3|=c$.
Докажите, что $f(a,b,c)$ не меняется при перестановке $a$, $b$ и $c$.
(Здесь $|A|$ обозначает количество элементов множества $A$.)

6. Выпуклый четырёхугольник поделен на девять четырехугольников четырьмя отрезками, точки пересечения которых лежат на диагоналях исходного четырехугольника (см. рисунок). Известно, что в четырехугольники 1, 2, 3, 4 можно вписать окружности. Докажите, что в четырехугольник 5 также можно вписать окружность.

[Гость]

15 олимпиада

Задачи, решения: izho.kz

[Гость]

Международная Жаутыковская олимпиада 2020