Пример задачи по кольцу вычетов по модулю n

[MartinSeptim]

Объясните, пожалуйста, что такое группа вычетов по модулю n на каком-то примере. Существуют ли решенные задачи по группе вычетов в виде разобранных примеров? Меня интересуют задачи вида: "...в группе вычетов по модулю 5 выписать циклическую подруппу порожденную элементом 3..."

@темы: Высшая алгебра, Дискретная математика, Множества

Comments

[Leska|Nastya]

Группа вычетов по модулю 5: числа 0, 1, 2, 3, 4
Группа вычетов по модулю 6: числа 0, 1, 2, 3, 4, 5
и т.д.
как складываются элементы в группе: 1+1=2;
2+4=6, но 6 нет в группе, тогда берем остаток от деления на 5 т.е. 6=5*1+1 = 1; 12=5*2+2 = 2 и т.д.

Циклическая группа порожденная 3:
Первый элемент 3
второй элемент 3+3=6 = 1
третий элемент 1+3=4
четвертый элемент 4+3=7 = 2
пятый элемент 2+3=5 = 0
шестой элемент был бы: 0+3=3 - такой элемент уже есть и нет смысла снова прибавлять тройку.

Или вам надо циклическую подгруппу по умножению?

[Гость]

Можно добавить, что при построении подобной алгебраической структуры множество целых чисел разбивают на классы эквивалентности, считая два числа равными, если они имеют одинаковый остаток при делении на `n`
Например, при рассмотрении вычетов по модулю 5 имеем:
`... = -5 = 0 = 5 = 10 = ...`
`... = -4 = 1 = 6 = 11 = ...`
`... = -3 = 2 = 7 = 12 = ...`
`... = -2 = 3 = 8 = 13 = ...`
`... = -1 = 4 = 9 = 14 = ...`
На таком множестве классов эквивалентности используют обычные операции сложения и умножения, поэтому часто говорят не о группе, а о кольце вычетов

[Дилетант]

Процитирую кусочек из Саймона Сингха.

Ранее мы видели, что целые числа можно мыслить как отметки на числовой прямой, простирающейся в бесконечность, как показано на рис. 1. Чтобы сделать числовое пространство конечным, арифметика вычетов отрезает от числовой прямой определенную часть и замыкает ее в петлю, образуя вместо числовой прямой числовое кольцо. На рис. 2 вы видите часы с пятью пометками: от числовой прямой отрезана часть по отметке 5, и конец ее склеен с отметкой 0. Число 5 при этом исчезает и становится эквивалентным 0, поэтому в новой арифметике — арифметике вычетов по модулю 5 — фигурируют только числа 0, 1, 2, 3, 4.


Рис. 1. Обычные арифметические действия можно представить как передвижения направо и налево по числовой оси


Рис. 2.

В обычной арифметике мы мыслим сложение как сдвиг по прямой на несколько делений — зазоров между отметками. Например, сказать: 2+4 = 6 — то же самое, что сказать: начните с отметки 2, сдвиньтесь вдоль числовой прямой на 4 деления и вы получите число 6. Но в арифметике вычетов по модулю 5 получаем, что
4 + 2 = 1 .
Так происходит потому, что если мы начнем с отметки 4 и сдвинемся по окружности на 2 деления, то вернемся к отметке 1.

[MartinSeptim]

Спасибо за ответ. Возведение в степень происходит таким же образом т.е. 2^(4) в группе вычетов по модулю 5 равно 1 ?

[Гость]

Возведение в степень происходит таким же образом т.е. 2^(4) в группе вычетов по модулю 5 равно 1 ? - да

[Гость]

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!