18:51 

wpoms.
Step by step ...
Всероссийская олимпиада школьников. Республика Саха (Якутия)


Задания 2013/14 у.г.


@темы: Олимпиадные задачи

Комментарии
2014-01-21 в 18:57 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

6.1. Найдите какое-нибудь решение ребуса AAA x B = AB x CA. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным – разные.

6.2. На день рождения к сладкоежке Васе пришли друзья. Каждый мальчик принѐс по 5 шоколадок, а каждая девочка принесла по 2 пирожных. Потом каждый мальчик (кроме Васи) съел по 4 пирожных, а каждая девочка – по 2 шоколадки. А сладкоежке Васе достались только 3 шоколадки и не досталось пирожных. Сколько друзей пришли на день рождения к Васе?

6.3. Из клетчатого квадрата 5x5 вырезали центральный квадратик 1x1. Разрежьте оставшуюся фигуру на 6 равных клетчатых фигур. Приведите какой-нибудь один пример разрезания.

6.4. В конце каждого урока физкультуры учитель проводит забег и даёт победителю забега три конфеты, а всем остальным ученикам – по одной. К концу четверти Петя заслужил 29 конфет, Коля – 30, а Вася – 33 конфеты. Известно, что один из них пропустил ровно один урок физкультуры, участвуя в олимпиаде по математике; остальные же уроков не пропускали. Кто из детей пропустил урок? Объясните свой ответ.

6.5. На годовщине свадьбы родителей Петя сказал, что суммарный возраст его братьев равен 7 годам, а суммарный возраст его сестёр равен 17 годам. Его сестра Маша сказала, что суммарный возраст её сестёр равен 5 годам, а суммарный возраст еѐ братьев равен 17 годам. Наконец, их брат Коля сказал, что суммарный возраст его братьев и сестёр равен 26 годам. Докажите, что кто-то из детей ошибся.



2014-01-21 в 18:58 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1. Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?

7.2. Коля составил из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 три трехзначных числа (каждую цифру он использовал ровно один раз). Затем он сложил три полученных трехзначных числа. Какое наименьшее значение могла иметь сумма этих трех чисел?

7.3. На чудо-дереве растут 2013 бананов и 2013 ананасов. Разрешается срывать одновременно два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то тут же вырастет один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастет банан. К осени на дереве остался ровно один плод. Какой это плод: банан или ананас? Обоснуйте свой ответ.

7.4. Квадрат разрезан на 5 прямоугольников одинаковой площади так, как показано на рисунке. Длина горизонтальной стороны правого верхнего прямоугольника равна 1. Найдите площадь квадрата.


7.5. В поселке все телефонные номера 4-значные, имеют в своей записи только цифры 1, 2, 3 и у любых двух номеров цифры совпадают не более чем в одной позиции. Какое наибольшее число телефонных номеров может быть в этом поселке?



2014-01-21 в 18:58 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. Найдите сумму двух различных чисел a и b , удовлетворяющих равенству `a^2 + b = b^2 + a`.

8.2. Сейчас в семье кроме родителей есть сын и дочь, а суммарный возраст членов семьи равен 80 годам. Сколько лет сейчас детям, если 6 лет назад суммарный возраст членов семьи был равен 59 годам, а 12 лет назад – 42 годам?

8.3. Можно ли записать в клетки таблицы 100 x 100 числа 1, 2 и 3 так, чтобы все суммы: чисел в каждой строке, чисел в каждом столбце, чисел в каждой из двух диагоналей, были различны?

8.4. В остроугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из разных вершин, равен 60 градусам. Докажите, что эти высота и медиана равны по длине.

8.5. Шесть лягушек расположены по кругу, каждая на одной кочке. Раз в минуту две лягушки перепрыгивают на соседние кочки: одна – по часовой стрелке, другая – против часовой стрелки. Смогут ли все лягушки через некоторое время собраться на одной кочке?



2014-01-21 в 18:59 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Найдите какие-нибудь одиннадцать последовательных натуральных чисел, сумма которых является точным квадратом.

9.2. Если каждый мальчик купит пирожок, а каждая девочка – булочку, то они потратят вместе на один рубль меньше, чем, если бы каждый мальчик купил булочку, а каждая девочка – пирожок. Известно, что пирожок и булочка стоят целое число рублей, и что мальчиков больше чем девочек. На сколько человек их больше?

9.3. В школьном турнире по волейболу каждая команда встречается с каждой по одному разу. После того, как к числу участников добавилась одна команда, количество встреч увеличилось на 20%. Сколько команд участвовало в первенстве?

9.4. Пусть O – точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, M – середина стороны AD. Пусть K и N – точки пересечения отрезков BM и AC, а также CM и BD. Докажите, что разность KM – KO равна радиусу окружности, вписанной в четырехугольник MKON.

9.5. На острове проживают рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы – лгут. У каждого из них про каждого из остальных спросили: «Кто это: рыцарь или лжец?». Суммарно в их ответах 32 раза было сказано: «Рыцарь», и 40 раз: «Лжец». Сколько на острове проживает рыцарей и сколько – лжецов, если известно, что рыцарей – больше?



2014-01-21 в 18:59 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. На кастинге два специалиста A и B из 70 кандидатов должны отобрать четверых для съемок в фильме. Они по очереди отсеивают кандидатов. В первом туре A отсеивает 11 кандидатов, во втором B отсеивает 10, затем вновь A – 9, снова B – 8, …, наконец A – одного кандидата. Первый специалист (A) стремится к тому, чтобы все четверо, отобранных для съемок, были светловолосыми. При каком наименьшем количестве светловолосых кандидатов это ему заведомо удастся?

10.2. Докажите, что для любых действительных чисел `a`,`b`,`c` хотя бы одно из уравнений `x^2+2bx+2c=1`, `x^2+2cx+2a=1`, `x^2+2ax+2b=1` имеет действительный корень.

10.3. Найдите значение выражения
`A = ((10!+9!) (9!+8!) (8!+7!) ... (3!+2!) (2!+1!))/((10!-9!) (9!-8!) (8!-7!) ... (3!-2!) (2!-1!))`.
( n! = 1*2*3*...8 (n -1) *n ).

10.4. Вписанная в треугольник ABC окружность пересекает медиану BM в точках E и F . Известно, что BE = MF . Докажите, что одна из сторон треугольника в два раза больше другой.

10.5. У Пети и Васи две одинаковых колоды из 30 карточек, на которых написаны числа 1, 2, …, 30. Петя перемешал свою колоду и положил ее стопкой на стол, потом Вася перемешал свою колоду и положил ее стопкой сверху на первую стопку. Ребята подсчитали количество карточек, расположенных между парами карточек с одинаковыми записанными на них числами и сложили полученные результаты (то есть сложили 30 чисел). Какую сумму они могли получить?



2014-01-21 в 19:00 

wpoms.
Step by step ...
Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. Числа `x^3 + 1/x^2` и `x^2+1/x^3` – рациональные. Докажите, что x – рациональное число.

11.2. Известно, что некоторых углов x и y выполняются неравенства `sinx > cosy > 0` и `cosx > siny`. Докажите, что `sin y < 0`.

11.3. На столе белой стороной кверху лежали 100 карточек, у каждой из которых одна сторона белая, а другая черная. Коля перевернул 50 карточек, затем Таня перевернула 60 карточек, а после этого Петя – 70 карточек. В результате все 100 карточек оказались лежащими черной стороной вверх. Сколько карточек было перевернуто трижды?

11.4. Прямая пересекает график функции `y = x^2` в точках с абсциссами x1 и x2, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x3. Докажите, что 1/x1+1/x2=1/x3.

11.5. Две окружности K1 и K2 с центрами O1 и O2 соответственно, пересекаются в точках A и B . Прямая, проходящая через точку A , пересекает окружности K1 и K2 в точках C1 и C2 соответственно. Прямые C1O1 и C2O2 пересекаются в точке D. Докажите, что точки C1,B,C2,D лежат на одной окружности.



2015-10-21 в 06:37 

Владелец дневника видит IP-адреса пользователей, оставивших комментарии!

URL
   

Не решается алгебра/высшая математика?.. ПОМОЖЕМ!

главная