[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Псковская область Задания 2012/13 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

9 класс

1. Во время шахматного турнира подсчитали, сколько игроков сыграло нечётное количество партий. Докажите, что число таких игроков чётно.

2. Для некоторых чисел `a`, `b`, `c` и `d`, отличных от нуля, выполняется равенство `a/b+c/d=(a+c)/(b+d)`. Найдите знак числа `ac`.

3. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

4. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K. Отрезок CK пересекает медиану AM треугольника в точке P. Оказалось, что AK = AP. Найдите отношение BK : PM.

5. На столе в ряд лежат четыре монеты. Среди них обязательно есть как настоящие, так и фальшивые (которые легче настоящих). Известно, что любая настоящая монета лежит левее любой фальшивой. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь определить тип каждой монеты, лежащей на столе?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

10 класс

1. Может ли вершина параболы `y=4x^2-4(a+1)x+a` лежать во второй координатной четверти при каком-нибудь значении `а`?

2. Натуральное число A при делении на 2012 дало в остатке 29, при делении на 2013 оно дало в остатке также 29. Каков остаток от деления числа A на 22?

3. Что больше: `2013^2013+2011^2011` или `2013^2011+2011^2013`?

4. Можно ли вписать в окружность выпуклый семиугольник A1A2A3A4A5A6A7 с углами A1 = 140°, A2 = 120°, A3 = 130°, A4 = 120°, A5 = 130°, A6 = 110°, A7 = 150°?

5. Известно, что среди 98 монет имеется ровно одна фальшивая (отличается по весу от настоящих). С помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь определите, легче или тяжелее фальшивая монета настоящей (находить ее не надо).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

11 класс

1. У квадратного уравнения `x^2+px+q=0` коэффициенты `p` и `q` увеличили на единицу. Эту операцию повторили девять раз. Могло ли оказаться, что у каждого из десяти полученных уравнений корни — целые числа?

2. Докажите, что при `x in (0;pi/2)` выполняется неравенство `0 < 1/(sin^2 x)-1/x^2 < 1`.

3. Известно, что `ax^4+bx^3+cx^2+dx+e`, где a, b, c, d, e — данные целые числа, при любом целом x делится на 7. Доказать, что все целые числа a, b, c, d, e делятся на 7.

4. Дан тетраэдр ABCD . В каком отношении плоскость, проходящая через точки пересечения медиан граней ABC, ABD и BCD, делит ребро BD ?

5. Тетрадный лист раскрасили в 23 цвета по клеткам. Пара цветов называется хорошей, если существует две соседние клетки, закрашенные этими цветами. Каково минимальное число хороших пар?