[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Мурманская область Задания 2012/13, 2013/14 у.г., 2016-17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

7 класс

7.1. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

7.2. Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

7.3. Известно, что `ax^3+bx^2+cx+d` (a, b, c, d – данные натуральные числа) при любом целом x делится на 5. Доказать, что каждое из чисел a, b, c, d делится на 5.

7.4. Из прямоугольника размером 8x11 клеток требуется по линиям сетки вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать?

7.5. Даны натуральные числа a и b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же цифру, если известно, что:
а) числа 2a+b и 2b+a оканчиваются на одну и ту же цифру;
б) числа 3a+b и 3b+a оканчиваются на одну и ту же цифру?

---

Мурманск. Порт

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

8 класс

8.1. Сумма двух чисел равно 1465. Если к первому из них приписать справа 5, а у второго зачеркнуть последнюю цифру, то получатся равные числа. Найти данные числа.

8.2. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и высоте, опущенной на третью.

8.3. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.

8.4. При изготовлении партии из N >= 5 монет работник по ошибке изготовил две монеты из другого материала (все монеты выглядят одинаково). Начальник знает, что таких монет ровно две, что они весят одинаково, но отличаются по весу от остальных. Работник знает, какие это монеты и что они легче остальных. Ему нужно, проведя два взвешивания на чашечных весах без гирь, убедить начальника в том, что фальшивые монеты легче настоящих, и в том, какие именно монеты фальшивые. Может ли он это сделать?

8.5. Даны шесть слов:
ЗАНОЗА
ЗИПУНЫ
КАЗИНО
КЕФАЛЬ
ОТМЕЛЬ
ШЕЛЕСТ
За один шаг можно заменить любую букву в любом из этих слов на любую другую (например, за один шаг можно получить из слова ЗАНОЗА слово ЗКНОЗА. Сколько шагов нужно, чтобы сделать все слова одинаковыми (допускаются бессмысленные)? Приведите пример и докажите, что меньшим числом шагов обойтись нельзя.

---

Мурманск. Полярная ночь

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

9 класс

9.1. Петя вынимает из мешка чѐрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Петей, - красные, а двадцать пятая - чѐрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?

9.2. Десять человек сидят за круглым столом. Сумма в десять долларов должна быть распределена среди них так, чтобы каждый получил половину от той суммы, которую два его соседа получили вместе. Однозначно ли это правило задает распределение денег?

9.3. Прямая, проходящая через центр окружности, вписанной в треугольник ABC, пересекает его стороны CA и CB и удалена от вершин на расстояния dA, dB, dC. Доказать равенство a*dA + b*dB = c*dC, где a, b, c – длины сторон треугольника.

9.4. Докажите, что если x > 0, y > 0, z > 0 и x^2 + y^2 + z^2 = 1, то xy/z+yz/x+xz/y >= sqrt(3) и укажите, в каком случае достигается равенство.

9.5. Клетки шахматной доски 8×8 как-то занумерованы числами от 1 до 32, причѐм каждое число использовано дважды. Докажите, что можно так выбрать 32 клетки, занумерованные разными числами, что на каждой вертикали и на каждой горизонтали найдѐтся хотя бы по одной выбранной клетке.

---

А вот и товарищ "Ленин", атомоход, самый первый в мире. Теперь музей

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

10 класс

10.1. Найдите все натуральные числа a, b и c такие, что корни уравнений x² – 2ax + b = 0, x² – 2bx + c = 0, x² – 2c + a = 0 являются натуральными числами.

10.2. Что больше 368972/764797 или 368975/764804?

10.3. Дан равносторонний треугольник ABC, `K in BC`. Найти отношение |BK|:|CK|, если в прямоугольную трапецию AKFC, AC||KF, можно вписать окружность.

10.4. Докажите, что для любого натурального n выполнены соотношения:
а) `0 < sqrt(4n+2) -sqrt(n) - sqrt(n+1) < 1/(16sqrt(n)^3)`;
б) `[sqrt(n)+sqrt(n+1)]=[sqrt(4n+2)]`, где через [x] обозначена целая часть числа x.

10.5. Расстоянием между числами `bar{a_1a_2a_3a_4a_5}` и `bar{b_1b_2b_3b_4b_5}` назовем максимальное `i`, для которого `a_i != b_i`. Все пятизначные числа выписаны друг за другом в некотором порядке. Какова при этом минимально возможная сумма расстояний между соседними числами?

---

Мурманская область. Берег Баренцева моря

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

11 класс

11.1. Найдите наименьшее положительное значение x + y, если (1 + tg x)(1 + tg y) = 2.

11.2. Доказать, что если многочлен с целыми коэффициентами при трех различных целых значениях переменной принимает значение 1, то он не имеет целых корней.

11.3. Пятая степень натурального числа состоит из цифр 1, 2, 3, 3, 7, 9. Найти это число.

11.4. Существуют ли в пространстве четыре точки A, B, C, D такие, что AB = CD = 8 см, AC = BD = 10 см, AD = BC = 13 см?

11.5. см. 10.5.

---

Мурманская область. Берег Баренцева моря

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Известно, что среди 80 монет имеется одна фальшивая, более легкая, чем остальные, имеющие все одинаковый вес. При помощи четырех взвешиваний на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету.

2. Разделите окружность на четыре равные части, используя только циркуль.

3. Доказать, что нет целых чисел (отличных от нуля), которые увеличиваются вдвое от перестановки начальной цифры в конец.

4. Доказать, что если натуральное число n больше 4 и не простое, то произведение последовательных натуральных чисел от 1 до n−1 включительно делится на n.

5. Имеется два слитка золота массой 300 г и 400 г с различным процентным содержанием золота. Каждый слиток следует разделить на две части таким образом, чтобы из получившихся четырех кусков можно было изготовить два слитка массой 200 г и 500 г с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток?

---

Териберка. Скамейка с видом на северный полюс

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Каждая буква криптарифма AHHAAH:JOKE=HA единственным образом представляет какую-то десятичную цифру. Восстановите зашифрованное здесь деление.

2. Даны отрезок АВ и параллельная ему прямая m. Пользуясь только линейкой, то есть проводя лишь прямые, разделить отрезок АВ на три равные части.

3. Найдите остаток от деления f(x^5) на f(x), если f(x) = x^4+x^3+x^2+x+1.

4. Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

5. Требуется перевернуть вверх дном n чашек, следуя такому правилу: за один раз разрешается перевернуть n−1 чашку (любые), и эту процедуру можно повторить несколько раз. Покажите, что задача разрешима при четном n и неразрешима при нечетном n.

---

Деревянное чудо села Варзуги (1647 год)

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Доказать, что если квадратный трехчлен ax^2+bx+c принимает целые значения при любом целом значении переменой x, то 2a, a+b и c – целые числа, и наоборот.

2. Покажите, что если x и y – положительные целые числа и y > 2, то 2^x+1 не делится на 2^y−1.

3. Пусть внутри некоторого круга заданы две точки А и В. Для какой из точек С, расположенных на окружности, угол АСВ принимает наибольшее значение?

4. Найти наибольшее и наименьшее значения выражения 2x−3y, если 3x^2−xy+2y^2=5.

5. В порту для загрузки танкеров имеется три трубопровода. По первому из них закачивается в час 300 т нефти, по второму – 400 т, по третьему – 500 т. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами, подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру – второй трубопровод, то загрузка обоих танкеров при наиболее быстром из двух возможных способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть, окажется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубопровод отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместимость меньшего по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подключения загрузка заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров.

---

Мончегорск.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Упростите выражение `root 3 (2 + sqrt(5)) + root 3 (2 - sqrt(5))`.

2. Упростите произведение `(3^(2^0)+1)(3^(2^1)+1)(3^(2^2)+1)…(3^(2^n)+1)`.

3. Доказать, что любую положительную правильную дробь m/n можно представить в виде суммы величин, обратных попарно различным натуральным числам.

4. Пусть ABC – равносторонний треугольник, а P – произвольная точка вписанной в него окружности. Докажите, что величина `(PA)^2+(PB)^2+(PC)^2` постоянна.

5. Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго – 20 км/ч. От первого корабля отходит катер, движущийся со скоростью 25 км/ч. За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

---

Памятник "Умеющим ждать"

[wpoms.]

Вечный огонь - вечная память о Шестой комсомольской Героической батарее, о солдатах, не пустивших врага к Мурманску.
Памятник батарейцам открыт в Мурманске 6 ноября 1959 года

[wpoms.]

Памятник подводникам, погибшим в мирное время

[wpoms.]

Мемориал войск ПВО в посёлке Абрам-Мыс

[wpoms.]

Памятник Пограничникам Арктики

[wpoms.]

Памятник Валентину Пикулю

[wpoms.]

На традиционном празднике севера

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

---

Териберка. Водопад

[wpoms.]

2018

---

Памятник неизвестному солдату или памятник Алеше, как называют его мурманчане.
Это самый большой памятник за Полярным кругом