Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Всероссийская олимпиада школьников. Краснодарский край Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г. |  |
четверг, 16 января 2014
Комментарии
-
-
16.01.2014 в 20:255 класс
1 Расставить в клетках квадратной таблицы 4×4 десять звёздочек так, чтобы количество звёздочек в каждом столбце было нечётным, а в каждой строке – чётным.
2 Произведение четырёх последовательных натуральных чисел равно 7920. Найти эти числа.
3 На математическом конкурсе участники решали несколько простых и несколько сложных задач. За решение сложной задачи давалось 3 очка, за решение простой – 2 очка. Кроме того, за каждую нерешённую простую задачу с участника снимали 1 очко. Вася решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач ?
4 После того как двузначное число увеличили на 4, сумма его цифр стала равна половине суммы цифр исходного числа. Сколько существует таких двузначных чисел?
5 Четыре друга – Андрей, Борис, Виктор и Григорий на соревнованиях по бегу заняли первые четыре места. На вопрос, какое место кто из них занял, трое ответили так:
1. Виктор – второй, а Гриша – третий;
2. Виктор – первый, а Борис – второй;
3. Андрей – второй, а Гриша – четвёртый.
В каждом из трёх ответов одна часть правда, а другая – ложь. Кто какое место занял?
-
-
16.01.2014 в 20:256 класс
1 Найти все такие двузначные числа (с ненулевыми цифрами), каждое из которых при перестановке его цифр становится меньше исходного не менее чем в три раза.
2 В мешке лежат золотые монеты: дублоны, дукаты и пиастры, одинаковые на ощупь. Если из мешка вынуть 10 монет, то среди них обязательно окажется хотя бы один дублон, если вынуть 9 монет – окажется хотя бы один дукат, если же вынуть 8 монет, - хотя бы один пиастр. Какое наибольшее количество монет могло быть в мешке?
3 Можно ли составить из цифр 1,2,3,…,8,9 такое девятизначное число, что между цифрами 1 и 2 стоит нечётное количество цифр, между цифрами 2 и 3 – также нечётное количество цифр, … , между цифрами 8 и 9 – также нечётное количество цифр ?
4 Имеется 50 кирпичей – красных, белых и синих. Белых кирпичей в 11 раз больше чем синих. Красных кирпичей больше, чем синих, но меньше, чем белых. На сколько красных кирпичей меньше, чем белых ?
5 Из 16 спичек сложен ромб со стороной в две спички и разбит на треугольники со стороной в одну спичку. А сколько спичек потребуется, чтобы сложить ромб со стороной в 10 спичек, разбитый на такие же треугольники со стороной в одну спичку?
-
-
16.01.2014 в 20:257 класс
1 Три трёхзначных числа записаны всеми цифрами от 1 до 9 (без нуля), их сумма равна 1665. В каждом из этих чисел поменяли местами первую и последнюю цифры. Чему может быть равна сумма получившихся трёх трёхзначных чисел?
2 Какое наименьшее количество сомножителей надо вычеркнуть в произведении 1×2×3×…×99 так, чтобы произведение оставшихся сомножителей оканчивалось на цифру 2 ?
3 На квадратной доске 10×10 клеток расставлены шашки так, что на всех вертикалях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек, и на всех горизонталях стоит разное (возможно, нулевое) количество шашек. Сколько всего шашек может быть на доске? Перечислить все ответы, и доказать, что других нет.
4 Сколько существует способов разделить 10 одинаковых карандашей между тремя девочками так, чтобы каждая получила хотя бы один карандаш?
5 Натуральные числа x,y,z таковы, что 28x+30y+31z=365. Какие значения может принимать сумма x+y+z ?
-
-
16.01.2014 в 20:268 класс
1 В вершинах и центре правильного восьмиугольника расставляют цифры от 1 до 9 (каждую по одному разу) так, чтобы суммы чисел вдоль всех больших диагоналей были одинаковы. Какие значения может принимать число в центре ?
2 В клетках таблицы 9×9 расставлены числа 0 и 1 так, что из любых четырёх строк какие-то две совпадают. Доказать, что в таблице есть два одинаковых столбца.
3 Найти сумму углов a, b, c и d на рисунке.
4 Найдите следующее за 864 натуральное число, оканчивающееся на 864, и кратное 864.
5 Число (2011×2015+4)×(2010×2016+9) является четвёртой степенью некоторого натурального числа. Какого?
-
-
16.01.2014 в 20:279 класс
9.1. Верно ли, что для каждого натурального числа `n` число `p(n) = n^2 + n + 41` является простым? Обоснуйте свой ответ.
9.2. Каких шестизначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трехзначных или остальных?
9.3. Три агронома, работая вместе, вскопают грядку за 9 минут. Грядка также будет вскопана, если первый проработает 5 минут, затем второй 15 минут, а потом третий 13 минут. Сколько минут должен проработать второй агроном, чтобы оставить третьему ровно 11 минут на завершение вскапывания, если до него первый проработал ровно 7 минут? Предполагается, что каждый агроном работает со своей положительной производительностью, которая не меняется со временем.
9.4. В треугольнике ABC биссектриса внешнего угла при вершине B пересекает прямую AC в точке М. Докажите, что MC:MA=BC:BA.
9.5. Пусть x и y —положительные действительные числа. Докажите, что: `sqrt(x^2/y)+sqrt(y^2/x) >= sqrt(x) + sqrt(y)`.
-
-
16.01.2014 в 20:2710 класс
10.1. Карлсон задумал трехзначное число и выписал его на длинной стене 2013 раз подряд без пробелов, получив многозначное число. Могло ли оно делиться на 2013?
10.2. Сколько раз в сутки часовая и минутная стрелка часов взаимно перпендикулярны?
10.3. Набор чисел `a_1, a_2, ..., a_2013` представляет собой переставленные в некотором порядке числа 1, 2,..., 2013. Каждое число `a_k` умножается на его номер `k`, а затем среди полученных 2013 таких произведений выбирается наибольшее. Докажите, что оно не меньше чем `1007^2`.
10.4. Пусть действительные числа `a` и `b` различны. Докажите, что уравнение
`x^4 + 2(a + b) x^3 + (a^2 + 4ab + b^2) x^2 + 2 (a^3 + b^3) x + a^2b^2 = 0`
имеет ровно два различных действительных корня.
10.5. В остроугольном треугольнике ABC высоты BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Известно, что CH:HC1=1:3, а BH:HB1=4:1. Найдите величину угла A треугольника ABC.
-
-
16.01.2014 в 20:2811 класс
11.1. Решите уравнение: `sin^2013 x + cos^2013 x = 1`.
11.2. В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A2, B2 и C2 соответственно. Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на биссектрисах треугольника A2B2C2.
11.3. Карлсон задумал двузначное натуральное число, выписал его на длинной стене 2013 раз подряд без пробелов, получив многозначное число. Могло ли оно делиться на 2013?
11.4. Докажите, что для всех действительных чисел x и y выполнено неравенство `x^2 + xy + y^2 >= 6(x + y - 2)`.
11.5. По реке, через которую перекинут один мост, движутся плот, лодка и катер. Известно, что когда лодка находилась под мостом, то плот и катер были по разные стороны моста и равноудалены от него. Когда плот был под мостом, то катер и лодка были равноудалены от моста, находясь по разные от него стороны. Докажите, что в момент, когда катер был под мостом, плот и лодка равноудалены от моста. Считать, что скорость реки, плота, лодки и катера постоянны.
-
-
17.03.2017 в 08:14Муниципальный этап 2016-17 г.г.
-
-
03.01.2019 в 08:57-
-
06.12.2019 в 09:29URL записи