[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Самарская область Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на 4 равные части.


2. По кругу стоят 22 человека. Каждый из них — рыцарь (который всегда говорит только правду) или лжец (который всегда лжёт). Каждый из них произнес фразу: «Следующие 10 человек по часовой стрелке после меня — лжецы». Сколько среди этих 22 людей лжецов?

3. По асфальту колонна машин двигалась со скоростью 90 км/ч, а интервалы между соседними машинами составляли 18 м. Когда колонна свернула на грунтовую дорогу, её скорость упала до 40 км/ч. Какими стали интервалы между машинами?

4. Баба-Яга сидит перед кучей яиц и нумерует их, начиная с единицы. Как только на очередном яйце записывается номер, делящийся на 10, так в куче возникает ещё одно новое яйцо. Баба-Яга закончила своё дело, поставив на последнем яйце номер 2013. Сколько яиц было у неё первоначально?

5. На каждой стороне шестиугольника написали по числу. Сумму чисел каждых двух соседних сторон записали в общую вершину этих сторон. Затем стёрли все числа на сторонах и одно число в вершине. Восстановите число в вершине (см. рисунок).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Если сумма 2010 натуральных чисел равна 2013, то чему может быть равно их произведение?

2. В выражении 1/2 * 2/3 * 3/4 * 4/5 * 5/6 * 6/7 * 7/8 * 8/9 замените все семь звёздочек знаками арифметических действий (+, —, х, таким образом, чтобы значение полученного арифметического выражения равнялось нулю.

3. Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке О. Известно, что OD = OE и /_BAD = /_ACE. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

4. После того, как учительница Мария Ивановна пересадила Вовочку с первого ряда на второй, а Машеньку — со второго ряда на первый, средний возраст учеников, сидящих в первом ряду, уменьшился на две недели, а сидящих во втором ряду — увеличился на три недели. Известно, что в первом ряду сидит 12 человек. Сколько человек сидит во втором ряду?

5. В кофейне встретились 55 индийцев и турок, каждый из которых пил чай или кофе. Все индийцы говорят правду, когда пьют чай, и обманывают, когда пьют кофе, а все турки — наоборот. На вопрос «Вы пьёте кофе?» ответили «да» 44 человека, на вопрос «Вы турок?» — 33 человека, а с утверждением «На улице идёт дождь» согласилось 22 человека. Сколько индийцев в кофейне пьют чай?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Ненулевые числа а и b таковы, что (a+1/b)(b+1/a)=4. Докажите, что ab = 1.

2. В озере водятся караси, окуни и щуки. Два рыбака поймали вместе 70 рыб, причём 5/9 улова первого рыбака составляли караси, а 7/17 улова второго — окуни. Сколько щук поймал каждый из рыбаков, если оба поймали поровну карасей и поровну окуней?

3. На стороне AB равностороннего треугольника ABC взяли точку E и на отрезке EC по ту же сторону от него, что и точка B, построили равносторонний треугольник EKC. Докажите, что прямые АС и BK параллельны.

4. Квадратный трёхчлен ax^2 + bx + с имеет корни x_1 = (с - а - b)/(2a), x_2 = (а - b - с)/(2a). Докажите, что один из корней равен 1 или -1.

5. Можно ли разбить числа от 1 до 100 на три группы таким образом, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй группе — на 203, а в третьей группе — на 304?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Модуль каждого из трёх данных действительных чисел равен модулю суммы двух других. Докажите, что сумма этих трёх чисел равна нулю.

2. Положительные числа а, b и с являются последовательными членами геометрической прогрессии (именно в таком порядке). Докажите, что график функции у = ax^2 + bx + с лежит полностью выше оси Ох.

3. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АН и CP. Найдите величину угла B, если известно, что АС = 2PH.

4. Числа от 1 до 9 разбили на три группы по три числа, после чего числа в каждой группе перемножили. Пусть А — наибольшее из трёх произведений. Какое наименьшее значение может принимать А?

5. В одной клетке таблицы 6x6 стоит минус, в каждой из остальных — плюс. Разрешается заменить знаки во всех клетках одной строки или одного столбца на противоположные. После нескольких операций минусов стало семь. Докажите, что там, где минус стоял в начале, он стоит и в конце.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Из чисел -1, -2, -3, -4 и -5 выбрали четыре различных числа a, b, c и d. Каково наибольшее возможное значение выражения ab + cd?

2. Функция f(x) удовлетворяет соотношению f(x + у) = f(x) + f(y) + 2 xy для любых натуральных чисел x и у. Известно, что f(10) = 10. Найдите f(1).

3. Существует ли такое x, что значения выражений `tg x + sqrt(2)` и `ctg x + sqrt(2)` — целые числа?

4. Пусть P — середина стороны AB выпуклого четырёхугольника ABCD. Докажите, что если площадь треугольника PCD равна половине площади четырёхугольника ABCD, то BC || AD.

5. По кругу стоят 2013 девочек. У Маши 2014 конфет, у всех остальных ни одной. Каждую минуту одна из девочек даёт по одной конфете двум девочкам, стоящим после неё по часовой стрелке, или двум девочкам, стоящим после неё против часовой стрелки. Может ли в некоторый момент оказаться, что у Маши стало 2000 конфет, а у какой-то другой девочки 14?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.