Олимпиада школьников «САММАТ». Самара
Сайт олимпиады: sammat.ru
Задания 2012/13 у.г.
Самарская библиотечка
 |
Андреев А. А., Горелов Г. Н., Люлев А. И., Савин А. Н. Принцип Дирихле. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 1. - Самара: Пифагор, 1997. - 21 с.
При решении многих задач используется логический метод рассуждения - "от противного". В данной брошюре рассмотрена одна из его форм - принцип Дирихле. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбито на n непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где N>n то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента. Принцип назван в честь немец¬кого математика П. Г. Л. Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.
По традиции принцип Дирихле объясняют на примере "зайцев и клеток". Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что — "зайцы". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве. Цель этого сборника познакомить читателя с некоторыми изюминками решения задач на принцип Дирихле. В конце сборника приведены задачи для самостоятельного решения, что дает возможность читателю попробовать свои силы в решении подобных задач.
Книга предназначена главным образом для старшеклассников, однако школьники младших классов также несомненно найдут в ней мною полезного
Книга найдена aganyaz1974
Скачать (djvu (291 КБ) rghost.ru || ifolder.ru |
 |
Андреев А. А., Люлев А. И., Савин А. Н. Антье. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 2. — Самара: Пифагор, 1997. — 23 с.
Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми свойствами функции целой и дробной части действительного числа.
Книга снабжена многочисленными примерами и задачами и предназначена для учащихся старших классов, но может также быть использована в работе школьного математического кружка.
Скачать (djvu/rar, 1,04 Мб) rghost.ru || ifolder.ru
html-версия на сайте Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников Андреев А.А., Савин А.Н. "Антье и ее окружение"
По этой теме можно еще почитать Мордкович А., Смышляев В. Антье (из ж.Квант-1976-05) ifolder.ru |
 |
Андреев А. Л., Кузьмин Ю. П., Савин А. Н. Функциональные уравнения. Учебное издание. Серия А: Математика. Вып. 3. — Самара: Пифагор, 1997. — 45 с.
Цель этой брошюры — познакомить читателя с некоторыми методами решения функциональных уравнений. Книга предназначена для учащихся старших классов, а также окажет неоценимую помощь в работе школьного математического кружка.
Книга найдена aganyaz1974
Скачать (djvu 658.2 КБ) rghost.ru || ifolder.ru |
 |
Андреев А. А., Люлев А. И., Савин А. Н., Саушкин М. Н. Самарские олимпиады. Учебное издание. Серия А. Математика. Вып. 4. - Самара: Пифагор, 1998.— 108с., ил.
Сборник задач может служить пособием для самостоятельной подготовки к олимпиадам по математике.
Сборник составлен из задач, предлагавшихся в последние годы на математических олимпиадах г. Самары: САММАТ, университета Наяновой, олимпиады СамГУ и СамГГУ для выпускников. К большинству задач даны краткие указания. Наиболее сложные задачи снабжены подробными решениями.
Задачник может быть рекомендован учащимся старших классов, преподавателям математики, а также лицам, интересующимся нестандартными задачами.
Книга найдена aganyaz1974
Скачать (djvu 1.3 МБ) rghost.ru || ifolder.ru |
| 
|
-
-
15.01.2014 в 21:426 класс
1. Сколько надо взять слагаемых суммы 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... чтобы получилось трехзначное число, состоящее из одинаковых цифр?
2. Часы показывают 3 часа. Какова будет величина угла между стрелками через 30 минут?
3. Известно, что секция по самбо проходит по средам и пятницам, а секция каратэ по вторникам и четвергам. Какой день недели было 1 января, если в январе Вовочка был на тренировках 8 раз (не пропуская ни одного занятия!).
4. Вишенка на квадратном торте оказалась не в центре. Незнайка разрезал торт на несколько прямоугольных кусков и переставил их так, что вишенка оказалась в центре торта. На какое наименьшее число кусков разрезал торт Незнайка?
5. Расставьте 10 натуральных чисел от 1 до 10 в кружочки так, чтобы сумма чисел на каждой стороне пятиугольника была бы одной и той же.
6. В доме 10 этажей, во сколько раз лестница на 10 этаж длинее, чем
a) на 5 этаж;
б) на 2 этаж.
7. Если от задуманного трехзначного числа отнять 8, то полученное число будет делиться на 7, если от задуманного числа отнять 17, то оно будет делиться на 8, если от задуманного числа отнять 28, то оно будет делиться на 9. Определите это число.
8. Два математика работали над одной и той же проблемой. Известно, что (полный) год рождения одного из них на 4% больше года рождения другого. Могло ли случиться так, что оба этих математика родились во времена существо-вания Советского Союза? Ответ обосновать. Советский Союз (1922-1991 гг.)
9. Ни одно из указанных чисел не делится на 10 и все эти числа дают при делении на 10 разные остатки. Сумма этих чисел делится на 10. Найдите все указанные остатки от деления.
10. Из прямоугольника 12 × 9 от угла отрезали прямоугольник 8 × 1 так, что большая сторона отрезаемого прямоугольника параллельна меньшей стороне исходного прямоугольника. Как разрезать на 3 части оставшийся кусок, чтобы из него можно было сложить прямоугольник.
-
-
15.01.2014 в 21:427 класс
1. Представьте число 2013 в виде суммы нескольких положительных слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых тоже равнялось 2013.
2. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов через 2013 минут после полуночи?
3. Вишенка на квадратном торте оказалась не в центре. Незнайка разрезал торт на несколько прямоугольных кусков и переставил их так, что вишенка оказалась в центре торта. На какое наименьшее число кусков разрезал торт Незнайка?
4. Расшифруйте ребус A·Р=И-Ф=М:Е=Т-И=К:А.
5. На луче AB отмечены такие точки A1, A2, A3, ..., что AA1 = 1; A1A2 = 2; A2A3 = 3; ... . Перечислите отрезки с концами в отмеченных точках, чтобы длина каждого такого отрезка равнялась 63. Укажите пары непересекающихся отрезков, расстояние между серединами которых равно 20.
6. Натуральное число n назовем разбиваемым, если числа 1; 2; 3; ...; n можно разбить на такие группы, что наименьшее число в каждой группе равно количеству чисел в этой группе. Докажите, что число 33 разбиваемо.
7. В группе студентов - либо мальчик, либо брюнет, либо любит рок музыку. В группе 20 мальчиков, из них 13 брюнеты и один любит рок музыку. Всего в группе 25 студентов-брюнетов, рок музыку из них любят 14, а всего студентов (мальчиков и девочек), которые любят рок музыку, 17, из них 6 мальчики. Сколько студентов в данной группе?
8. Найти все четырехзначные числа, которые будучи приписаны справа к числу 400 можно представить в виде произведения двух одинаковых сомножителей.
9. Известно, что в январе — четыре понедельника и четыре пятницы. Какой день недели приходится на 1 января?
10. Имеются гири в количестве 6 штук. Показать, что они могут быть подобраны так, что с помощью них можно взвесить на обыкновенных весах любой вес в целых килограммах от 1 кг до 364 кг.
-
-
15.01.2014 в 21:438 класс
1. Докажите, что уравнение `C^A + M^A = P^A`, где C, M, A, P различные четные натуральные числа, имеет бесконечно много решений.
2. Натуральное число n назовем разбиваемым, если числа 1, 2, 3, ..., n можно разбить на такие группы, что наименьшее число в каждой группе равно количеству чисел в этой группе. Докажите, что число 2013 разбиваемо.
3. Треугольник имеет целые длины сторон x; y; z; причем известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других его высот. Докажите, что `x^2 + y^2 + z^2` — квадрат целого числа.
4. На доске выписаны 100 последовательных натуральных чисел. Когда ученик Петров стер два из них, то сумма оставшихся оказалась равной восьмизначному числу 20122013.
Найдите
а) первое число из указанной последовательности;
б) Сколько существует таких пар чисел, которые можно убрать согласно условию задачи?
5. Внутри квадрата, но не в центре находятся 2 точки. Разрежьте квадрат на наименьшее число прямоугольников и переместите их так, чтобы обе точки оказались в центре квадрата.
6. Ни одно из 98 натуральных чисел не делится на 100 и все эти числа дают при делении на 100 разные остатки. Сумма этих чисел делится на 100. Найдите все указанные остатки от деления.
7. На экскурсии были семиклассники и восьмиклассники. Все они были либо с фотоаппаратами, либо с видеокамерами. Мальчиков было 16, а ребят с фотоаппаратами 24. Девочек с видеокамерами было ровно столько, сколько мальчиков с фотоаппаратами. Сколько учащихся было на экскурсии?
8. Какое наименьшее значения может принимать `c`, если `a + b + c = 1` и `a^2 + b^2 + c^2 = 1`?
9. Известно, что площадь правильного треугольника со стороной `a` равна `a^3/(4R)`, где R — радиус описанной окружности. Пусть площадь некоторого треугольника равна `x^3/(4R)`, где R — радиус описанной окружности, x — длина одной из его сторон. Следует ли отсюда, что этот треугольник правильный?
10. Сколько решений в целых числах имеет решение `20x^2 + 13y^2 = 2013`?
-
-
15.01.2014 в 21:449 класс
1. Сколько решений имеет уравнение `C^A + M^A = P^A`, если A, M, P, C — различные цифры.
2. Разрежте квадрат на 2013 равнобедренных трапеций.
3. Пусть `a`, `b`, `c` положительные действительные числа. Найдите наименьшее значение суммы `(a + 3c)/(a + 2b + c) + (4b)/(a + b + 2c) - (8c)/(a + b + 3c)`.
4. Радиус вписанной в треугольник окружности, стороны которого натуральные числа, равен 1. Чему равен наибольший угол этого треугольника?
5. Можно ли расставить 14 подряд идущих натуральных чисел в вершинах и серединах сторон правильного семиугольника так, чтобы сумма трех чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была бы для всех сторон одинаковой?
6. Известно, что `AA x in RR` `f(x + 2) + af(x) = f(x + 1)` и `f(3) = 2013`. Чему равно `f(2013)`, если `a = (3+sqrt(5))/2`?
7. Действительные числа `a`, `b`, `c`, `d` таковы, что `a + b + c + d = 2` и `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 4`. Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать d?
8. Докажите, что для любого натурального `k` существует единственная последовательность, состоящая из `(2k-1)` члена, такая, что сумма квадратов первых `k` последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов `(k - 1)` последних натуральных чисел.
9. Одному из нескольких мальчиков разных возрастов 10 лет, что составляет `1/5` возрастов всех мальчиков (включая и его). Сколько лет сейчас каждому мальчику, если старшему из них 13 лет и возрасты всех мальчиков, кроме десятилетнего, размещенные в возрастающем порядке, составляют арифметическую прогрессию?
10. Найти все натуральные `n` при которых сумма `1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + 3 * 4 * 5 + ... + n(n + 1)(n + 2) < 20013`.
-
-
15.01.2014 в 21:4410 класс
1. В слове САМАРА заменили каждую букву некоторой цифрой так, что одинаковые буквы были заменены одинаковыми цифрами, а разные - разными. Таким образом получилось некоторое число. При этом оказалось, что выполняется следующее двойное равенство `sin(CA)^@ = sin(MA)^@ = cos(P + A)^@`. Найдите сумму цифр часла САМАРА. Замечание. Выражения CA и MA означают соответствующие двузначные числа.
2. Найдите по крайней мере два различных натуральных решения уравнения `[root 3 (m)] + [root 3 (m + 1)] + ... + [root 3 (n)] = 2013`, где `[x]` — целая часть числа `x`.
3. Известно, что `AA x in RR` `3f(x + 2) + f(x) = 3f(x + 1)` и `f(3) = 3^1000`. Найдите `f(2013)`.
4. Можно ли расставить 18 подряд идущих натуральных чисел в вершинах и серединах сторон правильного девятиугольника так, чтобы сумма трех чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была бы для всех сторон одинаковой?
5. Из множества всех трехзначных чисел составляются последовательности, подряд идущих чисел и число членов в этих последовательностях нечетное.
а) Сколько различных таких последовательностей можно составить?
б) Сколько последовательностей удовлетворяет условию: сумма квадратов `k` первых членов совпадает с суммой квадратов `k - 1` последних членов?
6. Действительные числа a; b; c; d таковы, что `a + b + c + d = 8` и `a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 19`. Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать d?
7. Дан правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. С помощью только линейки (без делений) построить отрезок `sqrt(21)`.
8. Из многоугольника можно получить новый многоугольник с помощью следующих операций: разрезав его по отрезку на 2 части, одну из частей перевернуть и приставить к другой части по линии разреза, если при этом части не будут иметь общих точек разреза. Можно ли с помощью нескольких таких операций из квадрата получить треугольник?
9. Найдите сумму целых частей всех корней уравнения `(-1)^([x^2])x^2 + (-1)^([4x])(4x + 1) = 0`.
10. Можно ли разрезать квадрат на
а) 2013 равнобедренных трапеций;
б) 13 равнобедренных трапеций.
-
-
15.01.2014 в 21:4511 класс
1. В первом туре олимпиады «САММАТ» 2013 школьников прошли во второй тур (т.е. решили не менее пяти задач из десяти). Докажите, что среди них всегда найдутся по крайней мере четверо школьников, которые решили одни и те же задачи.
2. Пусть `x_1, x_2, ..., x_2012` удовлетворяют равенству `(1 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2 + ... + (x_2011 - x_2012)^2 + x_2012^2 = 1/2013`. Чему равно `x_1 - x_2012`?
3. Два одинаковых куба с ребром `a` имеют общую диагональ, но один повернут вокруг этой диагонали на `60^@` по отношению к другому. Найти объем их общей части.
4. При каком наименьшем `n` выполняется неравенство `log_2^n 3 * log_3^n 4 * ... * log_n^n (n+1) > 2013`?
5. Пусть задана последовательность `a_n : a_{n+1} = a_n^2 - a_n + 1`, `a_1 = 2`. Вычислить `1/a_1 + 1/a_2 + ... + 1/a_100` с точностью до 20 знаков после запятой. Какая цифра стоит на 13 месте?
6. Для некоторых функций f(x) и g(x) при всех x верно `f(x) = g(x + 1)g(x -1)`, `g(x) = f(x + 1)f(x - 1)`, причем `f(3) + g(9) = 2013`. Чему равно f(2013) + g(2013)?
7. Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2013. На сторонах AB и AC взяты точки D и E соответственно. На отрезке DE взята точка F. Найти чему равно выражение `root 3 (S_{BDF})+root 3 (S_{CEF})`, если точки D, E, F выбраны так, что AD : AB = EC : AC = EF : DE.
8. Решите уравнение `[x^2]+1/([x^2]) = {x} + 1/({x})`, где `[x]` — целая часть числа `x`, `{x}` — дробная часть числа `x`.
9. Ни одно из `2n` натуральных чисел не делится на `(2n + 2)` и все эти числа дают при делении на `(2n + 2)` разные остатки. Сумма этих чисел делится на `(2n + 2)`. Найдите все указанные остатки от деления.
10. Сколько решений уравнения `cos (pi/(1 + sqrt(x))) + cos (pi/(1 + 2x)) = 0` находится в [-2013; 2013]?