[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Красноярский край Задания 2012/13 у.г., 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

7 класс

1. Расшифруйте числовой ребус (разным фигурам соответствуют разные цифры, одинаковым — одинаковые).


2. Разрежьте прямоугольник 4 х 8 на 8 равных частей так, чтобы в каждой части была звездочка.


3. Про число X книг на полке было сделано 5 утверждений: 1) X меньше 20; 2) X не меньше 5; 3) X не меньше 8; 4) X не меньше 9; 5) X больше 20. Известно, что среди этих утверждений три верных и два неверных. Чему может равняться X?

4. Саша ехал в автобусе и увидел своего друга Ваню, который шел навстречу. Через 2 минуты Саша вышел и побежал догонять Ваню. Через какое время он его догонит, если Саша двигается в 3 раза быстрее Вани, но в 4 раза медленнее автобуса?

5. Школьник выписал на доске в ряд все числа от 17 до 34, получилось число 171819202122232425262728293031323334. Он собирается заменить одну из цифр нулем всюду, где она встречается. Может ли он так выбрать цифру, которую будет заменять, чтобы полученное число делилось на 36?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

8 класс

1. Какие из следующих суждений будут ложными, если истинно а) (1); б) (2); в) (3)?
(1) Все данные числа кратны пятнадцати.
(2) Только некоторые из данных чисел кратны трем.
(3) Ни одно из данных чисел не кратно пяти.
(4) Каждое из данных чисел кратно трем и пяти.
(5) Не каждое из данных чисел кратно пятнадцати.
(6) Все данные числа не кратны пятнадцати.
(7) Некоторые из данных чисел кратны пятнадцати.

2. Могут ли не быть равными треугольники, если они имеют по 2 равные стороны и по 3 равных угла?

3. На доске были написаны 12 последовательных натуральных чисел. Когда стерли одно из них, то сумма одиннадцати оставшихся оказалась равна 2012. Какие числа остались на доске?

4. В доме отдыха три корпуса расположены в вершинах треугольника. В первом корпусе живут 20 человек, во втором 40, в третьем 60. Где нужно построить киоск, чтобы суммарное расстояние до него, проходимое всеми отдыхающими, было бы как можно меньше?

5. Упростите и вычислите произведение 400 сомножителей вида `(k^2+k+1)/(k^2-k+1)`, k=1, ..., 400.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

9 класс

1. Школьник начертил два подобных треугольника и разрезал каждый из них на два треугольника, первый на треугольники 1 и 2, второй на треугольники 3 и 4. Если треугольник 1 подобен треугольнику 3, обязательно ли треугольник 2 подобен треугольнику 4?

2. На плоскости даны 9 точек, расположенных в виде квадрата, одна из угловых точек обозначена A.

Сколько существует треугольников, у которых одна вершина находится в точке A, а две другие в остальных точках?

3. Если заменить в произведении 2013 чисел 1·2·…·2012·2013 каждый сомножитель на 1007, увеличится или уменьшится произведение?

4. Четыре зайца съели кучу морковки. Они ели по очереди, и каждый из них ел столько времени, сколько понадобилось бы трем другим зайцам, чтобы съесть половину кучи, если бы они ели вместе. Во сколько раз быстрее четыре зайца съели бы кучу, если бы ели не по очереди, а вместе?

5. Фиксированный отрезок AB – основание треугольника ABM, вершина M движется в плоскости треугольника так, что медиана AD имеет постоянную длину a. По какой траектории движется точка M?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

10 класс

1. Найдите все `p` такие, что числа `p`, `p + 20`, `p + 34` – простые.

2. Пусть `g(x) = ax^2 - ax + 1` и `|g(x)| <= 1` при `0 <= x <= 1`. Какое наибольшее значение может принимать `а`?

3. Имеются 9 отрезков: длины 1, длины 2, длины 3, …, длины 9. Квадраты с какими сторонами и сколькими способами можно составить из этих отрезков? (Не обязательно использовать все отрезки; способы составлений одного квадрата считаются разными, если использованы разные отрезки).

4. Точка K – середина стороны BC квадрата ABCD, точка F – середина отрезка KD. В каком отношении окружность, описанная около треугольника BKF, делит сторону AB квадрата?

5. Найдите сумму S = 8 + 88 + 888 + ... + 88...8 (в последнем слагаемом n цифр).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2012-13 г.г.

11 класс

1. Решите уравнение `(a sin x + b) (b sin x + a) = (a cos x + b) (b cos x + a)`.

2. Пусть `g(x) = x^2 + px + q`. Найдите все пары `(p, q)`, при которых выполняются равенства `g(p) = g(q) = 0`.

3. Каким числом способов можно представить число 2012 в виде суммы 3 натуральных слагаемых, если важен порядок следования слагаемых?

4. Куб со стороной a пересечен плоскостью, проходящей через его диагональ. Как надо провести эту плоскость, чтобы площадь сечения получилась наименьшей и чему площадь сечения в таком случае равна?

5. На окружности расположены 20 яблонь, на каждой яблоне сидит один шмель. Время от времени два шмеля одновременно перелетают на соседние яблони в противоположных направлениях (один – по часовой стрелке, другой – против). Могут ли все шмели собраться на одной яблоне?

[wpoms.]

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

1. Брату вдвое больше лет, чем было сестре тогда, когда брату было столько, сколько сейчас сестре. Вместе им сейчас 28 лет. Сколько лет брату?

2. Девять девочек шли через поле с ромашками. Первая сорвала несколько ромашек, вторая сорвала на 2 ромашки больше, третья сорвала на 2 ромашки больше второй. И дальше каждая девочка сорвала на 2 ромашки больше, чем предыдущая. Всего вместе они сорвали 99 ромашек. Сколько ромашек сорвала последняя девочка?

3. В лесу живут 33 гнома, Весельчаки и Ворчуны. Каждый Весельчак дружит с 5 Ворчунами, каждый Ворчун дружит с 6 Весельчаками. Сколько среди гномов Весельчаков?

4. Разделите двумя способами фигуру на три равные части:


5. В ящике находятся 40 шариков трех цветов – красных, синих и белых. Если вынуть любые 30 шариков, обязательно будут шарики всех трех цветов. Сколько красных шариков может быть в ящике? Укажите наименьшее и наибольшее возможное значение

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Береза к началу лета была на 10% ниже ели. За лето береза выросла на 21%, а ель на 10%. Какое дерево теперь ниже и на сколько процентов?

2. Можно ли расставить по кругу а) 4 различных числа, б) 6 различных чисел так, чтобы каждое число равнялось произведению двух соседних с разных сторон чисел?

3. Известно, что (a – b + 2013), (b – c + 2013) и (c – a + 2013) – три последовательных целых числа. Чему равно b – c + 2013?

4. На столе лежит семь книг. Из них четыре лежит вверх обложкой, а три вниз обложкой. Разрешается переворачивать одновременно любые две книги. Можно ли добиться, чтобы все книги лежали вверх обложкой?

5. В клетках таблицы 4 x 4 записаны числа. Для каждой клетки сумма чисел, стоящих в соседних клетках, равна 3 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел в таблице.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Можно ли разбить в случаях а) и б) числа на 3 группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?
а) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 б) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

2. В спортивной группе каждый занимается или боксом или гимнастикой. Боксом занимаются только мальчики, а среди занимающихся гимнастикой девочек в 4 раза больше, чем мальчиков. Какова доля боксеров в этой группе, если мальчиков и девочек в группе поровну?

3. Бумажный прямоугольник согнули так, что правая верхняя вершина совместилась с серединой нижнего основания (см. рис.). Оказалось, что треугольники 1 и 2 равны. Найдите отношение большей стороны прямоугольника к меньшей.


4. Миша и Вася поочередно пишут на доске трехзначные числа, не повторяя их (первый Миша, потом Вася, потом опять Миша и т.д.). При этом Миша пишет только числа, в которых нет ни цифры 2 ни цифры 3, а Вася пишет числа, в которых есть хотя бы одна из этих цифр. Кто из них первым закончит писать числа, и сколько чисел сможет после этого написать другой?

5. Найдите все целые значения b, при которых уравнение (x –15) (2x + b) + 1 = 0 имеет по крайней мере один целый корень.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Число n является квадратом целого числа. Может ли сумма цифр числа n равняться 2013?

2. Катя, Олег и Дима сделали по два утверждения про одно и то же натуральное число:
Катя: 1) Последняя цифра 8. 2) Число делится на 7.
Олег: 1) Первая цифра 4. 2) Число двузначное.
Дима: 1) Произведение цифр числа равно 154. 2) Первая цифра 2.
У каждого ровно одно утверждение верное. Какое это число?

3. В параллелограмме ABCD точка K – середина стороны CD. На прямую AK из вершины B опущен перпендикуляр BH. Докажите, что BC = HC.

4. На окружности отметили 7 точек. Сколько существует незамкнутых ломаных из 6 звеньев с вершинами во всех этих точках, если считать только ломаные без самопересечения?

5. Докажите, что при любом натуральном n справедливо равенство НОК(1, 2, …, 2n + 1) = НОК (n + 1, n + 2, …, 2n + 1) (НОК обозначает наименьшее общее кратное).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Два ученика вычислили дискриминант одного и того же квадратного уравнения с целыми коэффициентами ax^2 + bx + c = 0. У первого получилось 2013, у второго 2014. Кто из них наверняка ошибся?

2. Три школьника сделали по два утверждения про натуральные числа a, b, c:
Антон: 1) a + b + c = 34. 2) abc = 56.
Борис: 1) ab + bc + ac = 311. 2) Наименьшее из чисел равно 5.
Настя: 1) a = b = c. 2) Числа a, b, c простые.
У каждого ровно одно утверждение верное. Найдите числа a, b, c.

3. Из середины каждой стороны остроугольного треугольника опущены перпендикуляры на две другие стороны. Найдите отношение площади ограниченного ими шестиугольника к площади треугольника.

4. Сколько кратчайших путей существует из левой нижней вершины (A) прямоугольника 3x5 клеток в правую верхнюю вершину (B), если двигаться по границам клеток?


5. Найдите все пары (x, y) натуральных чисел, для которых число (y^2+y+1)/(xy+2) является целым.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. В компьютерной игре регистрируются рекорды (рекорд – набранное число очков, превышающее предыдущие результаты). Сумма пяти последовательных рекордов равна 31, пятый рекорд в 3 раза больше первого. Чему равняется четвертый рекорд? Найдите все решения и докажите, что других нет.

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD каждое ребро равно 2. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности пирамиды между серединами ребер AB и SC.

3. В треугольнике ABC sin C = 2cos A∙sin B. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

4. Расположите на плоскости 10 точек так, что если все их соединить отрезками, ровно у 10 отрезков будет длина 1, а остальные будут иметь меньшую длину.

5. Для натурального n > 1 пусть m и k – такие натуральные числа, что 1/n=1/(m(m+1))+1/((m+1)(m+1))+...+1/((m+k-1)(m+k)). Найдите наибольшее возможное значение k в зависимости от n.

[wpoms.]

Саяно-Шушенская ГЭС

---

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[Гость]

2018

[Гость]

05.12.2019 в 23:56

Пишет  wpoms.:

Поезд из Столицы в город Дальний едет 4 дня
Раньше для муниципальных этапов задания разрабатывали региональные предметно-методические комиссии на областном уровне. В этом году мы стали одним из регионов, для которых материалы разрабатывают и присылают специалисты из Москвы. Как и в случае с экзаменом, мы получаем их в день олимпиады. Поэтому и расписание олимпиады впервые стало единым.