[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Оренбургская область Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1. Найти сумму всех трёхзначных чисел, произведение цифр которых равно 3.

7.2.Доктор Айболит раздал четырем заболевшим зверям 2014 чудодейственных таблеток. Носорог получил на одну больше, чем крокодил, бегемот – на одну больше, чем носорог, а слон – на одну больше, чем бегемот. Сколько таблеток придется съесть слону?

7.3.В забеге участвовал 41 спортсмен. Число спортсменов, прибежавших раньше Васи, в 4 раза меньше числа тех, кто прибежал позже него. Какое место занял Вася?

7.4.Разрежьте флаг с 6 полосами на две части так, что бы из них можно было сложить флаг с 8 полосами.


7.5.Вдоль дороги длиной 60 км стоит несколько (больше одного) пеньков. Первый турист идёт по дороге со скоростью 5 км в час, у каждого пенька он останавливается и отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет по той же дороге на велосипеде со скоростью 12 км в час и отдыхает у каждого пенька в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?

8.2. На доске написаны числа от 1 до 10. Разрешается стереть любые два числа х и у, а вместо них записать на доску числа х – 1 и у + 3. Могли ли через некоторое время на доске оказаться числа 2, 3, …, 9, 10, 2002?

8.3. В треугольнике ABC биссектриса АЕ равна отрезку ЕС. Найдите угол ABC, если АС = 2АВ.

8.4. Малыш и Карлсон по очереди достают из коробки конфеты, при этом каждый берет на одну конфету больше или меньше, чем перед этим взял другой, не брать конфеты из коробки в свою очередь нельзя. Вначале в коробке было 24 конфеты, и Малыш и Карлсон договорились, что если в какой-то момент в коробке останется ровно 4 или 14 конфет, то тому, чья очередь брать конфеты, достанется торт. Сможет ли Карлсон, который первым берет конфеты, выиграть торт, если вначале он имеет право взять 1 или 2 конфеты?

8.5. Решите в натуральных числах уравнение: a! + b! + c! = d! (n! = 1 · 2 · 3 · … · n).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Каких натуральных чисел от 1 до 1 000 000 больше: делящихся на 11, но не делящихся на 13 или делящихся на 13, но не делящихся на 11?

9.2. Разрежьте фигуру, полученную из прямоугольника 4 х 5 вырезанием четырех угловых клеток 1 х 1 (рис. 1), на три части, не являющиеся квадратами, так, чтобы из этих частей можно было сложить квадрат.


9.3. В треугольнике ABC биссектриса АЕ равна отрезку ЕС. Найдите угол ABC, если АС = 2АВ.

9.4. Существует ли такое `x`, что значения выражений `x+sqrt(2)` и `x^3+sqrt(2)` – рациональные числа?

9.5. Решите уравнение в натуральных числах: `a^2 + b^2 + c^2 = 2^9`.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. Каких натуральных чисел от 1 до 1 000 000 больше: делящихся на 11, но не делящихся на 13 или делящихся на 13, но не делящихся на 11?

10.2. Числа `1/(a+b)`, `1/(a+c)` и `1/(b+c)` образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что числа `a^2`, `b^2` и `c^2` также образуют арифметическую прогрессию.

10.3. В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС = BD, а точка Е – середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DEC.

10.4. Решите уравнение в натуральных числах: `a^2 + b^2 + c^2 = 2^9`.

10.5. Разрежьте клетчатый квадрат 6 x 6 клеток на наибольшее число клетчатых прямоугольников, никакие два из которых не являются одинаковыми.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. Каких пятизначных чисел больше: тех, у которых цифры идут в строго возрастающем порядке, или тех, у которых цифры идут в строго убывающем порядке? (Например, в первую группу входит число 12 459, но не входят числа 12 495 и 12 259).

11.2. Числа `1/(a+b)`, `1/(a+c)` и `1/(b+c)` образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что числа `a^2`, `b^2` и `c^2` также образуют арифметическую прогрессию.

11.3. Существует ли такое `x`, что значения выражений `tg x + sqrt(3)` и `ctg x + sqrt(3)` – целые числа?

11.4. Решите в целых числах уравнение: `2ab+3a+b=0`.

11.5. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDА и DAB, равны. Докажите, что АС = BD.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[Гость]

2018/19

libgen.st/book/index.php?md5=3384D807C818D3E596...

2019/20

libgen.st/book/index.php?md5=D69E654234AEE4B0F7...