[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Республика Башкортостан Задания 2013/14, 2016/17 у.ч., 2017/18 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

5 класс

1. Малышу 1 января 2013 года подарили мешок шоколадных конфет, в котором было 300 конфет. Каждый день Малыш съедал одну конфету. По воскресениям к нему прилетал Карлсон, и Малыш угощал его парой конфет. Сколько конфет съел Карлсон? (1 января 2013 года - вторник).

2. Петя может в числе 1974835 переставлять местами любые две цифры различной чётности. Какое наибольшее число он может получить таким образом?

3. Про четырёхзначное число сделано три высказывания: "В записи числа встречаются цифры 1, 4, и 5", "В записи числа встречаются цифры 1, 5, и 9", "В записи числа встречаются цифры 7, 8, и 9". Из них ровно два верных. Какие цифры встречаются в записи этого числа?

4. На столе стоят четыре стопки одинаковых монет из 5 монет, 6 монет, 7 монет и 19 монет. В одной из них одну монету заменили на монету другого веса, внешне не отличающуюся от остальных. Как при помощи чашечных весов без гирь за одно взвешивание найти две стопки, в которых все монеты настоящие?

5. Квадрат 5×5 хотят разрезать на прямоугольники двух видов: 1×4 и 1×3. Сколько прямоугольников может получиться после разрезания? Ответ обосновать.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

6 класс

1. В классе 25 учеников. Выше Вовы 14 учеников. Ниже Миши 13 учеников. Все ученики в классе разного роста. Сколько учеников выше Вовы и ниже Миши?

2. Вова сложил несколько последовательных натуральных чисел, начиная с 10. Миша сложил столько же последовательных натуральных чисел, начиная с 11. Сумма Миши оказалась на 100 больше суммы Вовы. Сколько чисел сложил каждый из них?

3. Планировка прямоугольных участков садового кооператива показана на рисунке. У хозяина каждого участка можно узнать периметр его участка. Какое наименьшее количество хозяев нужно опросить, чтобы узнать внешний периметр всего садового кооператива?


4. На столе стоят четыре стопки одинаковых монет из 15 монет, 16 монет, 17 монет и 19 монет. В одной из них одну монету заменили на монету другого веса, внешне не отличающуюся от остальных. Как при помощи чашечных весов без гирь за одно взвешивание найти две стопки, в которых все монеты настоящие?

5. На доске выписаны 10 последовательных натуральных чисел. Сумма всех выписанных цифр равна 56. Сколько могло быть выписано единиц? Указать все возможные ответы.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Чтобы открыть сейф, нужно ввести код – число, состоящее из семи цифр: двоек и троек. Сейф откроется, если двоек больше, чем троек, а код делится на 12. Придумайте код, открывающий сейф.

2. Найдите величину угла между часовой и минутной стрелками в 20 часов 14 минут 1 января 2014 года.

3. Таблицу 3×3 заполнили простыми числами. Оказалось, что сумма чисел в любых двух соседних клетках – простое число. Какое наибольшее количество различных чисел может быть в таблице? Приведите пример и докажите, что больше различных чисел быть не может.

4. На доске выписано в ряд шесть чисел. Известно, что каждое число, начиная с третьего, равно произведению двух предыдущих, и пятое число равно 108. Найти произведение всех шести чисел в этом ряду.

5. На 300 карточках написаны все натуральные числа от 1 до 300. Карточки поровну раздали двум игрокам. Каждый их них выкладывает такие пары карточек, разность чисел на которых кратна 25, до тех пор, пока это возможно. Докажите, что они выложат на стол одинаковое количество таких пар карточек.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Имеются двухчашечные весы и девять гирь весом 1 г, 2 г, 3 г ..., 9 г. Можно ли с их помощью отвесить 27 г песка за одно взвешивание, причём так, чтобы все гири были использованы?

2. Даны двузначное, трехзначное и четырехзначное числа, все девять цифр в записи которых различны. Может ли сумма этих чисел равняться 2013?

3. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все стороны равны. Оказалось, что величины углов A, C, E равны 150 градусам. Найти величину угла B.

4. Пусть a, b, c, d – различные целые числа, такие что (8 – a)( 8 – b)( 8 – c)( 8 – d) = 9. Найти сумму a+b+c+d.

5. На 500 карточках написаны все натуральные числа от 1 до 500. Карточки поровну раздали двум игрокам. Каждый их них выкладывает такие пары карточек, разность чисел на которых кратна 25, до тех пор, пока это возможно. Докажите, что они выложат на стол одинаковое количество таких пар карточек.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Было 2013 пустых коробок. В некоторую из них положили 13 новых коробок (не вложенных друг в друга). Таким образом, стало 2026 коробок. В некоторую из них снова положили 13 новых коробок (не вложенных друг в друга) и т.д. После нескольких таких операций стало 2013 непустых коробок. Сколько всего стало коробок?

2. Докажите, что неравенство `x^2 - 2xsqrt(y-5) + y^2 + y - 30 >= 0` выполняется при любых допустимых значениях x и y.

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: `x^2 (y+y^2) y^3+x^4`.


4. Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны соответственно 15 и 12, а основание LM=3. Биссектриса угла NKL проходит через середину стороны MN. Найдите площадь трапеции.

5. В клетках таблицы с 10 строками и 10 столбцами стоят числа +1 и -1. Берутся произведения чисел, стоящих в каждом столбце и в каждой строке. Докажите, что сумма этих 20 произведений не может равняться двум.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Доказать, что в последовательности 2014, 20142014, 201420142014, ..... нет такого числа, которое является квадратом целого числа.

2. Сравните числа `root 2013 (2013!)` и `root 2014 (2014!)`.

3. На рисунке изображены графики квадратных трёхчленов `y=x^2+ax+b` и `y=x^2+cx+d`. Докажите, что `a^2-c^2 > b-d`.


4. Решите неравенство в целых числах `x^2/(sqrt(x-3y+2)) + y^2/(sqrt(-x+2y+1)) >= y^2+2x^2-2x-1`.

5. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C – прямой) на стороне BC взята точка D так, что величина угла CAD равна 30 градусам. Из точки D на AB опущен перпендикуляр DE. Найти расстояние между серединами отрезков CE и AD, если известно, что AC = `3sqrt(3)`, DB= 4 .

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. У натурального числа сумма цифр 2013. Следующее за ним имеет меньшую сумму цифр и не кратно 4. Какова сумма цифр следующего натурального числа.

2. Найдите количество всех семизначных натуральных чисел, у которых цифры в десятичной записи идут в строго возрастающем порядке до середины, а далее в строго убывающем порядке. Например, подойдет число 1358620.

3. Определите наименьшее произведение положительных чисел a и b, удовлетворяющих равенству 20ab=13a+14b.

4. Решите следующее уравнение для положительных x. `x^2014+2014^2013=x^2013+2014^2014`.

5. Известно, что в пирамиде ABCD с вершиной D, сумма `/_ABD+/_DBC=pi`. Найдите длину отрезка DL, где L основание биссектрисы BL угла ABC, если дано, что AB=9, BC=6, AC=5, DB=1.

[Гость]

---

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

---

[Гость]

Муниципальный этап 2017-18 г.г.

[wpoms.]

2018

---