[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Чувашская республика Задания 2013/14, 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1 Из города A в пункт B вышли два человека. Первый шел по шоссе со скоростью 5 км/час, а второй по тропинке со скоростью 4 км/час. Первый из них пришел в пункт B на 1 час позже и прошел на 6 км больше. Найдите расстояние от A до B по тропинке.

7.2 Существуют ли такие целые числа a и b , отличные от нуля, что одно из них делится на их сумму, а другое делится на их разность?

7.3 Можно ли натуральные числа от 1 до 40 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних ( из большего вычитают меньшее ) было не меньше 20?

7.4 Деревни A, B, C расположены в вершинах равностороннего треугольника. В деревне A живут 40 школьников, в деревне B живут 30 школьников, в деревне C живут 70 школьников. Где нужно построить школу, чтобы суммарное расстояние, проходимое школьниками было бы как можно меньше? Ответ обосновать.

7.5 10 плиток размером 10см x 20см распилили на 20 треугольных плиток. Можно ли из этих треугольных плиток сложить квадрат?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1 В соревновании двух команд, состоящем из нескольких туров, в каждом из которых команда за победу получает три очка, за ничью два очка, за поражение одно очко, итоговый счет оказался равным 17:11. Сколько победных, ничейных и проигрышных туров могло быть у победителя?

8.2 Можно ли натуральные числа от 1 до 40 выписать в строчку так, чтобы разность любых двух соседних ( из большего вычитают меньшее ) было не меньше 20?

8.3 Сумма цифр пятизначного числа равна четырем. Какой может быть сумма цифр квадрата этого числа?

8.4 В треугольнике ABC угол A равен 27 градусам, угол C равен 63 градусам. Найти угол между медианой и биссектрисой, проведенных из вершины B.

8.5 Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно 1 пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Сколько пирожных съели Малыш и Карлсон в 20 день?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1 В соревновании двух команд, состоящем из нескольких туров, в каждом из которых команда за победу получает три очка, за ничью два очка, за поражение одно очко, итоговый счет оказался равным 17: 11. Сколько победных, ничейных и проигрышных туров могло быть у победителя?

9.2 Число A получено перестановкой цифр числа B . Докажите, что сумма цифр числа 5A равна сумме цифр числа 5B.

9.3 AD и BE – биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника ABC (D лежит на BC, E лежит на AC). Из D и E проведены перпендикуляры DM и EN к AB. Найти угол NCM.

9.4 Даны положительные числа x , y . Докажите неравенство `(x+1)/(y+1)+(y+1)/(x+1) <= x/y+y/x`.

9.5 Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно 1 пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Сколько пирожных съели Малыш и Карлсон в 20 день?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1 Найдите все пары квадратных трехчленов `x^2+ax+b`, `x^2+cx+d` такие, что a и b – оба корня второго трехчлена, c и d – оба корня первого трехчлена.

10.2 Число A получено перестановкой цифр числа B . Докажите, что сумма цифр числа 5A равна сумме цифр числа 5B.

10.3 Известно, что сумма модулей попарных разностей пяти неотрицательных чисел равна 1. Найдите наименьшее значение суммы этих чисел.

10.4 В треугольнике ABC AB=AC, величина угла A равна 100 градусов; точка P лежит на AC, причем BP – биссектриса угла B . Доказать , что AP + PB = BC.

10.5 Два велосипедиста стартовали одновременно в противоположных направлениях из точек A и B круговой велотрассы. Найти отношение их скоростей , если из первых 15 встреч велосипедистов после старта только третья и пятнадцатая произошли в точке A , а к моменту их пятой встречи каждый из них проехал не менее одного круга.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1 Найдите все пары квадратных трехчленов `x^2+ax+b`, `x^2+cx+d` такие, что a и b – оба корня второго трехчлена, c и d – оба корня первого трехчлена.

11.2 В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 36 градусам . Из вершин тупого и острого углов проведены биссектрисы. Найти отношение длин этих биссектрис.

11.3 Каждый день Малыш и Карлсон едят пирожные. В первый день они съели по одному пирожному. Затем Малыш каждый день съедает ровно 1 пирожное, а Карлсон ровно столько, сколько они съели вместе за все предыдущие дни. Сколько пирожных съели Малыш и Карлсон в 20 день?

11.4 Докажите, что для любого натурального n имеет место неравенство `1/1^2+1/2^2+...+1/n^2 < 2`.

11.5 По окружности расставляют 40 ненулевых целых чисел с общей суммой 16. При этом любые два стоящих рядом числа должны отличаться не более чем на 6 и среди любых четырех подряд идущих чисел должно быть хотя бы одно положительное.
а) Среди таких 40 чисел найдите наибольшее возможное количество положительных.
б) Среди таких 40 чисел найдите наименьшее возможное количество положительных.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.