Step by step ... Informazioni sulle gare, come allenarsi, chi corrompere.
Всероссийская олимпиада школьников. Республика Карелия Задания 2013/14, 2016/17 у.г. |  |
четверг, 09 января 2014
Комментарии
-
-
09.01.2014 в 06:557 класс
1. Знайка заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в любых четырёх соседних клетках, равнялась 7, а Незнайка стёр почти все цифры. Можно ли по оставшимся цифрам точно определить, какую таблицу составил Знайка?
2. В школе на Планете индикаторов проходит экзамен. Каждый индикатор решает одну задачу. Пока индикатор решает задачу, он белого цвета. Когда он находит решение и пока его записывает, цвет у индикатора розовый. Потом индикатор сдаёт тетрадку и выходит. Алиса заглянула в кабинет, когда в нём было 35 индикаторов – белых и розовых. После того как 8 белых индикаторов порозовели, а 2 розовых дописали решение и вышли, белых индикаторов стало вдвое больше, чем розовых. Сколько белых индикаторов было в кабинете, когда в него заглянула Алиса?
3. Коля зашифровал предложение из четырёх слов, заменив каждую букву её номером в русском алфавите. В итоге оказалось, что в полученной записи участвуют только цифры 0, 1, 2 и 3. Вот это зашифрованное предложение:
Разгадайте предложение Коли.
4. Каждый из четырёх гномов – Сеня, Беня, Веня, Женя – либо всегда говорит правду, либо всегда врёт. Мы услышали такой разговор: Сеня – Бене: «Ты врун»; Веня – Сене: «Сам ты врун»; Женя – Бене: «Да оба они вруны, – (подумав), – впрочем, ты тоже». Кто из них говорит правду?
5. Найдите пару таких простых чисел, что и их сумма, и их разность тоже являются простыми числами. Укажите все такие пары.
6. Можно ли разрезать квадрат на 4 части так, чтобы каждая часть соседствовала (имела общие участки границы) с тремя другими? (Части, у которых общая только одна точка соседними не считаются.)
-
-
09.01.2014 в 06:568 класс
1. Знайка заполнил клетки таблицы цифрами так, что сумма цифр, стоящих в любых четырёх соседних клетках, равнялась 7, а Незнайка стёр почти все цифры. Можно ли по оставшимся цифрам точно определить, какую таблицу составил Знайка?
2. Купец случайно перемешал конфеты 1-го сорта (по 3 руб. за фунт) и конфеты 2-го сорта (по 2 руб. за фунт). По какой цене надо продавать эту смесь, чтобы выручить ту же сумму, если известно, что первоначально общая стоимость всех конфет 1-го сорта была равна общей стоимости всех конфет 2-го сорта?
3. Расставьте числа 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 в таком порядке, чтобы между двойками оказалось бы две цифры, между тройками – три, между четвёрками – четыре, между пятёрками – пять и между шестёрками – шесть цифр.
4. Каждый из четырёх гномов – Сеня, Беня, Веня, Женя – либо всегда говорит правду, либо всегда врёт. Мы услышали такой разговор: Сеня – Бене: «Ты врун»; Веня – Сене: «Сам ты врун»; Женя – Бене: «Да оба они вруны, – (подумав), – впрочем, ты тоже». Кто из них говорит правду?
5. Найдите пару таких простых чисел, что и их сумма, и их разность тоже являются простыми числами. Укажите все такие пары.
6. Можно ли разрезать круг на 4 части так, чтобы каждая часть соседствовала (имела общие участки границы) с тремя другими? (Части, у которых общая только одна точка соседними не считаются.)
-
-
09.01.2014 в 06:569 класс
1. Из чисел 1, 2, 3, ..., 2014 составляют всевозможные непустые неупорядоченные наборы без повторений: одноэлементные, двухэлементные, …, наконец, набор {1, 2, 3, ..., 2014}. Каких наборов больше: содержащих число или остальных? На сколько больше? Ответ обоснуйте.
2. Какое число больше: `(2013^2012 + 1)/(2013^2013 + 1)` или `(2013^2013 + 1)/(2013^2014 + 1)`? Ответ обоснуйте.
3. Может ли остаток, полученный в результате деления простого числа p > 30 на 30, быть составным числом? Ответ обоснуйте.
4. Внутри треугольника ABC взяли точку N так, что MN параллельно AB (здесь M — точка пересечения медиан треугольника ABC). Найдите площадь треугольника ABN, если площадь треугольника ABC равна 3.
5. Найдите все тройки натуральных чисел (a, b, c) таких, что `(1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) = 3`.
6. Прямоугольную таблицу заполнили числами так, что произведение суммы чисел любой строки на сумму чисел любого столбца равно числу, стоящему на их пересечении. Докажите, что либо сумма всех чисел таблицы равна единице, либо все числа в таблице — нули.
-
-
09.01.2014 в 06:5710 класс
1. Докажите равенство
2. Для любых действительных ненулевых `a` и `b` докажите неравенство `a^2+b^2+1/a^2+b/a >= sqrt(3)`. В каком случае достигается равенство?
3. Найдите все такие натуральные числа `n`, для которых число `6n` делится на число `6+n` без остатка.
4. Вписанная в треугольник `ABC` окружность касается его сторон в точках `A_1`, `B_1`, `C_1`, биссектрисы углов `A` и `B` пересекаются в точке `J` и пересекают отрезки `B_1C_1` и `A_1C_1` в точках `A_2` и `B_2` (см. ниже рисунок). Докажите, что четырёхугольник `JA_2C_1B_2` — вписанный (т. е. вокруг него можно описать окружность).
5. Пусть `m` и `n` — целые числа, а `x_1` и `x_2` — корни квадратного уравнения `x^2+mx+n=0`. Может ли случиться, что `|x_1-x_2|=2014`?
6. Прямоугольную таблицу заполнили числами так, что произведение суммы чисел любой строки на сумму чисел любого столбца равно числу, стоящему на их пересечении. Докажите, что либо сумма всех чисел таблицы равна единице, либо все числа в таблице — нули.
-
-
09.01.2014 в 06:5711 класс
1. Докажите равенство
2. Решите систему в действительных числах `x^2014+y^2014=x`, `x^2013+y^2013=1`.
3. Докажите, что для любого действительного верно неравенство `x^2sinx+xcosx+x^2+1/2 > 0`.
4. Вписанная в треугольник `ABC` окружность касается его сторон в точках `A_1`, `B_1`, `C_1`, биссектрисы углов `A` и `B` пересекаются в точке `J` и пересекают отрезки `B_1C_1` и `A_1C_1` в точках `A_2` и `B_2` (см. ниже рисунок). Докажите, что четырёхугольник `JA_2C_1B_2` — вписанный (т. е. вокруг него можно описать окружность).
5. Найдите все тройки натуральных чисел (a, b, c) таких, что `(1 + 1/a)(1 + 1/b)(1 + 1/c) = 3`.
6. Прямоугольную таблицу заполнили числами так, что произведение суммы чисел любой строки на сумму чисел любого столбца равно числу, стоящему на их пересечении. Докажите, что либо сумма всех чисел таблицы равна единице, либо все числа в таблице — нули.
-
-
30.11.2016 в 05:50Муниципальный этап 2016-17 г.г.