[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Сахалинская область Задания 2013/14 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Маша пригласила Сашу в гости, сказав, что живёт в 10-м подъезде в квартире № 335, а этаж сказать забыла. Подойдя к дому, Саша обнаружил, что дом девятиэтажный. На какой этаж ему следует подняться? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы)

2. Килограмм мяса с костями стоит 248 рублей, килограмм мяса без костей — 320 рублей, а килограмм костей — 80 рублей. Сколько граммов костей в килограмме мяса?

3. Расставьте на шахматной доске 32 коня так, чтобы каждый из них бил ровно двух других.

4. Маша написала дробь 10/97. Вовочка может: 1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно, 2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Вовочка с помощью этих действий получить дробь а) равную 1/2? б) равную 1?

5. На острове проживают 1234 жителя, каждый из которых либо рыцарь (который всегда говорит правду) либо лжец (который всегда лжет). Однажды, все жители острова разбились на пары, и каждый про своего соседа по паре сказал: "Он - рыцарь!", либо "Он - лжец!". Могло ли в итоге оказаться, что тех и других фраз произнесено поровну?

---

Среди памятников природы Сахалинской области особое место занимает водопад Илья Муромец, который украшает склоны горы Демон, расположенной в северной-восточной части о. Итуруп Курильского архипелага. Водяные струи падают с высоты 141 метра. Этот водопад входит в первую десятку самых грандиозных водопадов России, а уж для Дальнего Востока - его высота и вовсе рекордная.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. Числитель и знаменатель дроби — целые положительные числа, дающие в сумме 101. Известно, что дробь не превосходит 1/3. Укажите наибольшее возможное значение такой дроби.

2. Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три.

3. В пяти корзинах лежат груши, сливы и яблоки. Число слив в каждой корзине равно числу яблок в остальных корзинах вместе взятых, а число яблок в каждой корзине равно числу груш в остальных корзинах вместе взятых. Докажите, что общее число фруктов делится на 21.

4. Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

5. На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник 7x9. В левом нижнем углу стоит фишка. Коля и Серёжа по очереди передвигают ее на любое количество клеток либо вправо, либо вверх. Первым ходит Коля. Выигрывает тот, кто поставит фишку в правый верхний угол. Кто выигрывает при правильной игре?

---

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Докажите, что из любых пяти натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на три.

2. В городе Васюки у всех семей были отдельные дома. В один прекрасный день каждая семья переехала в дом, который раньше занимала другая семья. В связи с этим было решено покрасить все дома в красный, синий или зелёный цвет, причём так, чтобы для каждой семьи цвет нового и старого домов не совпадал. Можно ли это сделать?

3. Ученик не заметил знака умножения между двумя трёхзначными числами и написал одно шестизначное число. Результат получился в три раза больше. Найти эти числа.

4. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла В пересекает сторону AD в точке М, а биссектриса внешнего угла D пересекает прямую АВ в точке К. Докажите, что отрезок MK равен и перпендикулярен диагонали прямоугольника.

5. Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 метров от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 метрах от другого берега. Какова ширина реки?

---

"Ну, что тебе сказать про Сахалин" (Я.Френкель - М.Танич)

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Решите неравенство: `x+2y^2+sqrt(3x-y^2-3) le 1`.

2. Можно ли найти 10 различных натуральных чисел, обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них?

3. В трапеции ABCD биссектриса тупого угла B пересекает основание AD в точке K – его середине, M – середина BC, AB = BC. Найдите отношение KM : BD.

4. Возрастающая арифметическая прогрессия такова, что произведение каждых двух различных её членов – также член этой прогрессии. Докажите, что все её члены – целые числа.

5. Вова вынимает из мешка чёрные и красные карточки и складывает их в две стопки. Класть карточку на другую карточку того же цвета запрещено. Десятая и одиннадцатая карточки, выложенные Вовой, — красные, а двадцать пятая — чёрная. Какого цвета двадцать шестая выложенная карточка?

---

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Про углы треугольника ABC известно, что `sinA+cosB=sqrt(2)` и `sinB+cosA=sqrt(2)`. Найдите величину угла C.

2. Известно, что `x`, `y` и `z` – целые числа и `xy + yz + zx = 1`. Докажите, что число `(1 + x^2)(1 + y^2)(1 + z^2)` является квадратом натурального числа.

3. Из всякого ли выпуклого четырехугольника можно вырезать параллелограмм, три вершины которого совпадают с тремя вершинами этого четырехугольника?

4. В пространстве даны параллелограмм ABCD и плоскость α, пересекающая отрезки АВ и CD. Расстояния от точек A, B и C до плоскости α равны соответственно a, b и c. Найти расстояние d от вершины D до плоскости α.

5. В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани. Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

---

Бухта Кратерная, входящая в памятники природы Сахалинской области, находится на южном берегу пустынного острова Янкича. Это уникальное место, образовавшееся в результате вторжения морских вод в кратер вулкана в результате мощного взрыва десяти тысячелетней давности. Остров, представляющий собой безлесные горы, утесы и сопки, по сути, и есть древнейший вулкан. Сегодня здесь находится государственный биологический заказник.