[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Хабаровский край Задания 2013/14 у.г., 2016/17 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

7.1. Петя написал на доске сначала трехзначное число, затем двузначное – являющееся произведением цифр первого, а потом и третье число, равное произведению цифр второго. Мальчик обозначил цифры первого числа буквами А, В и С и обнаружил, что имеют место равенства и . Какое число было написано на доске первым?

7.2. Тринадцать одноклассников после урока физкультуры решили купить большую бутылку газировки. Каждый кинул в шапку по одной монетке (2 или 5 рублей). В итоге набралась сумма в 41 рубль. Сколько в шапке двухрублевых монет?

7.3. Рассматриваются группы из семи идущих подряд натуральных чисел, таких, что их сумма делится на 11. С какого наименьшего натурального числа может начинаться такая группа?

7.4. Витя утверждает, что он может нарисовать шестиугольник и, проведя прямую через две его вершины, отрезать от него семиугольник. Не ошибается ли Витя?

7.5. На тропическом острове живут два племени туземцев: пигмеи и великаны. В путеводителе говорится, что представители одного племени всегда говорят правду, а представители второго племени всегда лгут. Одна беда – составители путеводителя забыли напечатать, кто именно лгуны. Путешественник, впервые приехавший на остров, встретил пигмея и великана. Он вежливо спросил у великана: «Здравствуйте! Вы всегда говорите правду?». Великан понял вопрос и ответил на местном диалекте: «Кара-бумм». Стоявший рядом пигмей услужливо перевел: «Он сказал «да», сэр». Может ли теперь путешественник определить, представители какого племени – лжецы?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

8.1. Рассматриваются последовательности из тринадцати идущих подряд натуральных чисел, таких, что сумма чисел последовательности делится на 17. С какого наименьшего натурального числа может начинаться такая последовательность?

8.2. Сколько квадратов изображено на рисунке?


8.3. В классе больше 20, но меньше 30 учеников. При этом в классе тех, кто ходит в шахматный кружок, в 2 раза меньше, чем тех, кто не ходит. А тех, кто ходит в шашечный кружок, в 3 раза меньше, чем тех, кто не ходит. Сколько учеников в классе?

8.4. Дан равносторонний треугольник ABC. Сторона BC разделена на три равные части точками K и L, а точка M делит сторону AC в отношении 1:2, считая от вершины A. Докажите, что сумма углов AKM и ALM равна 30 градусам.

8.5. На городской олимпиаде по математике каждому участнику присваивается шифр — произвольное число, оканчивающееся номером класса, в котором он учится. В олимпиаде среди 6 и 7 классов приняли участие 75 детей, и оказалось, что сумма шифров шестиклассников равна сумме шифров семиклассников. На следующий год в олимпиаде среди 7 и 8 классов приняли участие эти же 75 ребят. Могли ли суммы шифров этих теперь уже семи и восьмиклассников опять оказаться равными? Обоснуйте свой ответ. (Шифры следующего года не связаны с шифрами предыдущего.)

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

9.1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

9.2. В классе больше 20, но меньше 30 учеников, дни рождения у всех различны. Петя сказал: «Тех, кто старше меня в классе, в два раза больше тех, кто младше меня». Катя сказала: «Тех, кто старше меня в классе, в три раза меньше тех, кто младше меня». Сколько учеников в классе?

9.3. Из произведения трех последовательных натуральных чисел вычли их сумму и получили нечетное число N. Докажите, что число N является произведением каких-то трех последовательных нечетных чисел.

9.4. Диагонали вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке K. Докажите, что касательная в точке K к окружности, описанной около треугольника ABK, параллельна CD.

9.5. Внучка выкопала на огороде 45 репок, веса которых — все натуральные числа от 1 до 45. Могла ли внучка дать по 15 репок деду и бабке так, чтобы выполнилось следующее условие: какие бы две своих репки ни положили на одну чашку весов дед и бабка — по одной каждый, внучка сможет положить на другую чашку весов одну или две свои репки так, чтобы весы уравновесились?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

10.1. Если в произведении двух чисел первый множитель увеличить на 1, а второй уменьшить на 1, то произведение увеличится на 2011. Как изменится произведение исходных чисел, если, наоборот, первый множитель уменьшить на 1, а второй увеличить на 1?

10.2. Парабола `y = ax^2` высекает на прямых `y = 1`, `y = 2`, `y = 3` три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.

10.3. Существуют ли пять последовательных натуральных чисел, таких, что если к сумме этих чисел прибавить их произведение, то результат будет оканчиваться на 2013?

10.4. Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A; из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности (С - точка касания). Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.

10.5. а) Рассматриваются квадраты со сторонами, параллельными координатным осям, вершины которых имеют целочисленные координаты, принимающие значения от 0 до 5. Сколько существует различных квадратов, удовлетворяющих этим условиям?
б) Решите эту же задачу при условии, что координаты принимают значения от 0 до N, где N – некоторое натуральное число, большее 5.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

11.1. В трехмерном пространстве рассматриваются кубы, ребра которых параллельны координатным осям, а координаты вершин этих кубов принимают целые значения от 0 до 5. Каково число таких кубов?

11.2. В основании семиугольной пирамиды `SA_1A_2 ... A_7` лежит выпуклый семиугольник `A_1A_2 ... A_7`. Известно, что проекции вершин `A_2`, `A_4`, `A_6` на прямую `SA_1` попадают в одну точку. Докажите, что проекции вершин `A_3`, `A_5`, `A_7` также попадают в одну точку.

11.3. Найти все действительные решения уравнения `x^2 + 2x sin(xy) + 1 = 0`.

11.4. Среди троек целых чисел `a`, `b`, `c`, для которых выполняется равенство `a^3(a−1)+b^3(b−1)+c^3(c−1)=a(a−1)+b(b−1)+c(c−1)`, найдите тройку с наименьшей суммой.

11.5. График функция `y = ax^4` высекает на прямых `y = 1`, `y = 4`, `y = 9` три отрезка. Докажите, что из этих отрезков можно сложить прямоугольный треугольник.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2016-17 г.г.

[Гость]

Муниципальный этап 2020-21 г.г.

youtu.be/l6WTEcP_14k, youtu.be/tAzr6xpP5pQ, youtu.be/hFUbymFgivo, youtu.be/kIHxeqt6ghY, youtu.be/5PQQENHpbEw