[wpoms.]

Всероссийская олимпиада школьников. Челябинская область Олимпийский портал Челябинской области Задания 2013/14, 2016/17 у.г., 2017/18 у.г.

@темы: Олимпиадные задачи

Comments

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

7 класс

1. Имеется 58 шариков трёх разных цветов. Среди любых 50 шариков есть шары всех трёх цветов. Какое наименьшее число шаров нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлись шары хотя бы двух разных цветов?

2. Летом семиклассники были в двух походах. В первом походе мальчики составляли 60% от числа учеников, участвовавших в данном походе, а во втором походе — 75%. На турслёт собрались все участники двух походов (кто-то из них был в двух походах, а кто-то только в одном). Верно ли, что на турслёте мальчиков было не меньше, чем девочек? Могло ли их быть поровну?

3. На глобусе провели 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделилась поверхность глобуса?

4. По шоссе со скоростью 60 км/ч едет колонна машин, растянувшаяся на 1 км. Проезжая мимо поста ДПС, каждая машина мгновенно сбрасывает скорость до 45 км/ч. Какой станет длина колонны, когда последняя машина минует пост ДПС?

5. Назовём год лихим, если в записи его номера есть повторяющиеся цифры. Например, все года с 1988 по 2012 были лихими. Каково максимальное количество лихих лет, идущих подряд, среди уже прошедших лет нашей эры?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

8 класс

1. В школе 924 ученика. Все ученики сидят за партами по двое, причём у 60% мальчиков сосед по парте — мальчик, а у 20% девочек сосед по парте — девочка. Сколько в школе учится девочек?

2. Имеется 222 шарика четырёх разных цветов. Среди любых 200 шариков есть шары всех четырёх цветов. Какое наименьшее число шаров нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлись шары трёх разных цветов?

3. Илья каждый день в одно и то же время выезжает на своём велосипеде в школу. Если он едет со средней скоростью 10 км/ч, то прибывает в школу в 8 ч 04 мин. Если его средняя скорость 15 км/ч, то он приезжает в 7 ч 56 мин. С какой средней скоростью (в км/ч) нужно ехать Илье, чтобы прибыть в школу ровно в 8 ч?

4. ABC — прямоугольный треугольник с острым углом /_A = 30°. Точка D — середина гипотенузы AB. На стороне AC выбрана точка E так, что ED _|_ AB. Найдите длину катета AC, если DE = 1.

5. В первом ряду театра 12 мест. Сколькими способами обладатели билетов на эти места могут разместиться на них так, чтобы каждый оказался на своём месте (согласно купленному билету) или на соседнем с ним?

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

9 класс

1. Петя шёл по шоссе. Он заметил, что через каждые 15 мин его обгонял автобус, а через каждые 10 мин мимо него проезжал встречный автобус. Считая, что в каждом направлении автобусы идут с одним и тем же интервалом времени T, найдите T.

2. В семье четыре человека. Если студенту Мише удвоят стипендию, то общий доход семьи вырастет на 5%. Если вместо этого удвоят зарплату маме — то на 15%, а если папе — то на 25%. Как вырастет доход семьи, если удвоят пенсию дедушке?

3. Имеется 1000 шариков пяти разных цветов. Среди любых 950 шариков есть шары всех пяти цветов. Какое наименьшее число шаров нужно взять, чтобы среди них наверняка нашлись шары трёх разных цветов?

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Точка P - середина CD, E - середина AO, F - середина BO. Прямые CF и DE пересекаются в точке H. Докажите, что точки H, O и P лежат на одной прямой.

5. По кругу расположены 2013 чисел, каждое из которых принадлежит промежутку [0; 1]. Найдите наибольшее возможное значение суммы квадратных корней из модулей разностей соседних чисел.

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

10 класс

1. Можно ли заполнить таблицу 3×3 числами так, что произведение чисел в любой строке и в любом столбце равнялось 1, а произведение чисел в любом квадрате со стороной 2 было равно 2?

2. Настя сбежала вниз по движущемуся эскалатору и насчитала 30 ступенек. Затем она решила пробежать вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора, и насчитала 150 ступенек. Сколько ступенек она насчитала, спускаясь вместе с полицейским по неподвижному эскалатору?

3. Докажите, что сумма 2013-х степеней всех натуральных чисел от 1 до 2013 (включительно) делится на сумму самих этих чисел.

4. В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза BC равна 2, D – середина BC. Биссектриса угла А пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке P. Найти PD.

5. Вершины правильного 2013-угольника занумеровали (по часовой стрелке) числами от 1 до 2013. Можно ли вершины другого такого же многоугольника занумеровать (этими же числами) так, чтобы при любом наложении первого многоугольника на второй у них нашлась бы вершина с одинаковым номером? (При наложении вершины совмещаем с вершинами; переворачивать многоугольники нельзя).

[wpoms.]

Муниципальный этап 2013-14 г.г.

11 класс

1. Можно ли заполнить таблицу 3×5 числами так, что произведение чисел в любой строке и в любом столбце равнялось 1, а произведение чисел в любом квадрате со стороной 2 было равно 2?

2. Имеется две дроби, числители и знаменатели которых положительны, причем знаменатель большей дроби меньше знаменателя меньшей. Отличник Вася сосчитал сумму этих дробей. Двоечник Петя тоже «сосчитал» сумму этих дробей, сложив числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем. Докажите, что Петина «сумма» по крайней мере в два раза меньше Васиной.

3. Найдите остатки от деления суммы 2013-х степеней всех натуральных чисел от 1 до 2013 (включительно) на 2013, и на 2014.

4. В неравнобедренном треугольнике ABC угол А равен 60˚, сторона BC равна 6, D – середина BC. Биссектриса угла А пересекает серединный перпендикуляр к BC в точке P. Найти PD.

5. Можно ли клетки доски 2013×4056 раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой клетки было ровно две соседних по стороне клетки другого цвета?

[Гость]

Задания 2016/17 у.г.

[Гость]

Задания 2017/18 у.г.