воскресенье, 15 декабря 2013
| |
Недостаточно лишь понять задачу, необходимо желание решить её. Без сильного желания решить трудную задачу невозможно, но при наличии такового возможно. Где есть желание, найдётся путь!
Дьёрдь Пойа
|
13 декабря, исполнилось
126 лет со дня рождения
Дьёрдя Пойа.
Википедия
Дьёрдь Пойа (венг. Pólya György, англ. George Pólya или Polya — Джордж По́лиа; 13 декабря 1887, Будапешт, Австро-Венгрия (ныне Венгрия) — 7 сентября 1985, Пало-Альто, Калифорния, США) — венгерский, швейцарский и американский математик.
Окончил Будапештский университет (1912), в 1914—1940 годах работал в Высшей технической школе в Цюрихе (с 1928 года — профессор). В 1940 году вместе со своей супругой переехал в США и устроился на работу в Стэнфордский университет, где и прошла вся его дальнейшая научная карьера. Основные труды — по теории чисел, функциональному анализу, математической статистике (распределение Пойа) и комбинаторике (теорема Редфилда — Пойа).
Живя в США, Пойа много работал со школьными учителями математики и внёс большой вклад в популяризацию науки. Он написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.
Пойа об аналогии: «Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны… без аналогии».
Доказательство одноцветности всех лошадейчитать дальшеДоказательство одноцветности всех лошадей — ошибочное доказательство того, что все лошади одного цвета, придуманное венгерским математиком Пойа. Доказательство призвано продемонстрировать ошибки, возникающие при неправильном использовании метода математической индукции.
Первоначальный вариант доказательства содержится в одном из упражнений к Главе VII «Математическая индукция» первого тома работы Пойа «Математика и правдоподобные рассуждения». В первоначальном доказательстве речь идёт не об одноцветности лошадей, а об одноцветности глаз девушек:
17. Равны ли любые n чисел? Вы сказали бы «Нет». Всё же мы можем попытаться с помощью математической индукции доказать обратное. Более заманчиво, однако, доказать утверждение: «у любых n девушек глаза одинакового цвета».
Для n = 1 утверждение, очевидно, верно (или «бессодержательно»). Остаётся перейти от n к n + 1. Для определённости я перейду от 3 к 4, а общий случай оставлю вам. Позвольте представить вас четырём девушкам: Анне, Белле, Вере и Галине, или, для краткости, А, Б, В и Г. Предполагается (n = 3), что глаза девушек А, Б и В одинакового цвета. Точно так же, по предположению, и глаза девушек Б, В и Г одинакового цвета (n = 3). Следовательно, глаза всех четырёх девушек А, Б, В и Г должны быть одинакового цвета. Для полной ясности можно взглянуть на диаграмму
|-------| А, Б, В и Г. |--------|
Это доказывает утверждение для n + 1 = 4, а переход, например, от 4 к 5, очевидно, не более труден.
Объясните парадокс. Можете испытать экспериментальный подход, посмотрите в глаза нескольким девушкам.
— Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. — 2-е изд., испр. — М.: Наука, 1975. — C. 140.
«Доказательство»
Доказываемое утверждение: Все лошади одного цвета. Проведём доказательство по индукции.
База индукции: Одна лошадь, очевидно, одного (одинакового) цвета.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K лошадей всегда одного цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей одного цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут одного цвета. Значит, все K + 1 лошадей одного цвета.
Отсюда следует, что все лошади одного цвета. Утверждение доказано.
Опровержение
Противоречие возникает из-за того, что шаг индукции не сообразуется с базой. Он верен лишь при K >= 2. При K=1 (база индукции) получаемые множества оставшихся лошадей не будут пересекаться, и утверждение о равенстве цветов всех лошадей сделать нельзя.
Вариант «доказательства»
Доказываемое утверждение: Все лошади белого цвета. Проведём доказательство по индукции.
База индукции: Очевидно, бывают лошади белого цвета. Выберем одну и с неё начнём цепочку индукции.
Шаг индукции: Пусть доказано, что любые K лошадей всегда белого цвета. Рассмотрим K + 1 каких-то лошадей. Уберём одну лошадь. Оставшиеся K лошадей белого цвета по предположению индукции. Возвратим убранную лошадь и уберём какую-то другую. Оставшиеся K лошадей снова будут белого цвета. Значит, все K + 1 лошадей белого цвета.
Отсюда следует, что все лошади белого цвета. Утверждение доказано.
Опровержение
Здесь ошибка возникает уже в базе: происходит подмена квантора всеобщности («все») на квантор существования («существует»).
Гипотеза ПойаСлегка популяризированный (мной) вариант : )Гипотеза Пойа — математическая гипотеза из области теории чисел, выдвинутая Дьёрдем Пойа в 1919 году и опровергнутая в 1958 году. Значение самого маленького контрпримера часто используется как иллюстрация к факту, что математическая гипотеза может быть ложной несмотря на её действительность для очень многих чисел.
Гипотеза Пойа утверждает, что большинство натуральных чисел, меньших любого заранее заданного числа, разлагаются на нечётное количество простых множителей.
Гипотеза была опровергнута в 1958 году Хейзелгроувом, показавшим, что существует контрпример, и оценившим его в примерно 1,845 × 10^361. Первый конкретный контрпример был найден Шерман-Леманом в 1960 году — 906 180 359. В 1980 году был вычислен наименьший контрпример, 906 150 257.
Гипотеза ложна для большинства чисел между 906 150 257 и 906 488 079.Сочинения- (1948) Неравенства. — М. (совместно с Г. Харди и Дж. Литлвудом)
- (1962) Изопериметрические неравенства в математической физике. — М. (соавтор Г. Сегё (Gábor Szegő ))
- (1978) Задачи и теоремы из анализа. 3 изд. Часть 1, Часть 2. — М. (соавтор Г. Сегё)
- (1959) Как решать задачу. — М., Учпедгиз, 1959
- (1975) Математика и правдоподобные рассуждения. 2 изд. — М.
- (1976) Математическое открытие. 2 изд. — М.
@темы:
История математики,
Люди
-
-
15.12.2013 в 21:20.
-
-
15.12.2013 в 22:08-
-
16.12.2013 в 12:28-
-
16.12.2013 в 15:31В сообществе они тоже есть (спасибо mkutubi за ссылку):
eek.diary.ru/p166298524.htm