Решаю задачу на составление дифференциального уравнения из учебника "Дифференциальные уравнения" (выпуск VIII серии "Математика в техническом университете" издательства МГТУ им. Баумана, глава 1, задача 1.2). У меня нет уверенности в правильности моего решения. Особенно учитывая, что не все параметры условия фигурируют в полученном мною уравнении.
Пожалуйста, посмотрите мое решение (я его привожу схематически, чтобы не перегружать сообщение) и укажите мне на мои ошибки. Спасибо.
Условие
Человек и собака находятся в начальный момент времени в точках A и B на расстоянии L друг от друга. Человек уходит от собаки со скоростью v по дороге, перпендикулярной к отрезку AB, а собака бежит по направлению к человеку со скоростью 2v. Составить ОДУ траектории собаки.
Мое решение
Расположим декартову систему координат на плоскости так, чтобы точка A лежала в начале координат, точка B - на отрицательной части оси Ox, а движение человека было бы направлено по оси Oy в положительную сторону.
Пусть траектория движения собаки описывается функцией y = y(x). В некоторый момент времени собака находится в точке N = (x, y) своей траектории. Человек в этот же момент находится в точке `M = (x_1, y_1)` своей траектории. Из условий задачи следует, что отрезок MN лежит на касательной к траектории собаки в точке N. Обозначим через C точку с координатами (0, y). Тогда угловой коэффициент упомянутой касательной равен
`{|CM|}/{|CN|} = {|AM| - y}/{-x} = {y - y_1}/{x}`
Для длины s дуги BC, как функции от x (т. е. s = s(x)) имеем
`s' = \sqrt{1 + (y')^2}`
По условию скорости собаки и человека постоянны, причем модуль скорости собаки в два раза больше модуля скорости человека.Тогда, длину пути `y_1`, пройденного человеком, можно также рассматривать как функцию от x, причем
`y_1(x) = {s(x)}/{2}`
А тогда
`(y_1)' = {s'}/{2}`
Учитывая полученное ранее выражение для углового коэффициента касательной, найдем $y''$
`y'' = ({y - y_1}/{x})' = {s'}/{2x}`
И, окончательно, имеем ОДУ
`y'' = -{\sqrt{1 + (y')^2}}/{2x}`
?
Пожалуйста, посмотрите мое решение (я его привожу схематически, чтобы не перегружать сообщение) и укажите мне на мои ошибки. Спасибо.
Условие
Человек и собака находятся в начальный момент времени в точках A и B на расстоянии L друг от друга. Человек уходит от собаки со скоростью v по дороге, перпендикулярной к отрезку AB, а собака бежит по направлению к человеку со скоростью 2v. Составить ОДУ траектории собаки.
Мое решение
Расположим декартову систему координат на плоскости так, чтобы точка A лежала в начале координат, точка B - на отрицательной части оси Ox, а движение человека было бы направлено по оси Oy в положительную сторону.
Пусть траектория движения собаки описывается функцией y = y(x). В некоторый момент времени собака находится в точке N = (x, y) своей траектории. Человек в этот же момент находится в точке `M = (x_1, y_1)` своей траектории. Из условий задачи следует, что отрезок MN лежит на касательной к траектории собаки в точке N. Обозначим через C точку с координатами (0, y). Тогда угловой коэффициент упомянутой касательной равен
`{|CM|}/{|CN|} = {|AM| - y}/{-x} = {y - y_1}/{x}`
Для длины s дуги BC, как функции от x (т. е. s = s(x)) имеем
`s' = \sqrt{1 + (y')^2}`
По условию скорости собаки и человека постоянны, причем модуль скорости собаки в два раза больше модуля скорости человека.Тогда, длину пути `y_1`, пройденного человеком, можно также рассматривать как функцию от x, причем
`y_1(x) = {s(x)}/{2}`
А тогда
`(y_1)' = {s'}/{2}`
Учитывая полученное ранее выражение для углового коэффициента касательной, найдем $y''$
`y'' = ({y - y_1}/{x})' = {s'}/{2x}`
И, окончательно, имеем ОДУ
`y'' = -{\sqrt{1 + (y')^2}}/{2x}`
?
-
-
18.08.2013 в 12:51-
-
18.08.2013 в 15:25-
-
19.08.2013 в 04:47Ну почему же? Ведь если N = (x, y) - точка, в которой находится собака, то C = (0, y) - это проекция этой точки на ось ординат, в то время как человек находится в точке `M = (x_1, y_1) = (0, y_1)`...
epimkin
Спасибо за подсказку - буду искать
-
-
19.08.2013 в 05:32Теперь вроде все Ваши переходы понял...
Что смущает на этот раз...Скорость это производная по времени... а у Вас `s'` - это производная по `x`... то есть равенство `y_1 = s/2`, по-моему, неверно...Хотя нет... и тут Вы правы...
Полученный диффур можно проинтегрировать в явном виде...
А не вошедшие в него данные (например, начальное расстояние `L`) должны входить в начальные данные задачи Коши...
-
-
19.08.2013 в 13:11Задача номер 19
-
-
25.08.2013 в 07:25Большое спасибо за ссылку! Я тоже по Вашему совету покопался в интернете по ключевым словам "уравнение погони" и нашел учебник Степанова, где дано решение этой задачи в несколько более общем виде. Вначале я заново решил свою задачу (хотя и так было понятно, что решение не верное) расположив систему координат так, как предложено у Степанова. Результат хотя и получился другим, но все же лишь отдаленно напоминал правильный. Затем, чтобы почувствовать себя немного более в курсе дела, я выписал опущенные у Степанова выкладки (точнее, детали этих выкладок). В общем-то, рассуждения Степанова просты и понятны: непосредственно из условия задачи он выводит следующую систему уравнений:
`X = X_0 + at`,
`dx^2 + dy^2 = v^2dt^2`,
`dy/dx = -y/X - x`.
Единственное, в чем я остался не уверен, так это в том, правильно ли я понял вывод второго уравнения этой системы. Вот мои рассуждения.
Координаты x и y точки траектории можно представить как параметрические функции этой траектории, зависящие от параметра t (в данном случае он имеет физический смысл времени). Тогда производные от этих функций по времени будут координатами вектора скорости движущейся точки. А тогда, за время `dt` точка прошла бы, двигаясь прямолинейно с данной скоростью, расстояние, для квадрата которого справедлива (в силу теоремы Пифагора) формула
`(dx^2 / dt^2) dt^2 + (dy^2/dt^2) dt^2 = v^2dt^2`, т. е.
`(dx^2 / dt^2) + (dy^2 / dt^2) = v^2dt^2`.
Скажите, пожалуйста, правильны ли мои рассуждения?
Спасибо.
Тем временем, я буду искать логические ошибки в своем решении задачи.
-
-
25.08.2013 в 07:30Извиняюсь за анонимность предыдущего поста (не заметил, что я не авторизован в системе) и за ошибку в последней формуле. Конечно же должно быть
`dx^2 + dy^2 = v^2dt^2`
-
-
25.08.2013 в 14:58JSBach, Единственное, в чем я остался не уверен, так это в том, правильно ли я понял вывод второго уравнения этой системы. Вот мои рассуждения. - Можно и так как у Вас... а можно говорить о вычислении малого перемещения `sqrt{dx^2 + dy^2} = v*dt` и возвести в квадрат...
Тем временем, я буду искать логические ошибки в своем решении задачи. - Всё-таки мне не понятны Ваши сомнения... у Вас изначально получено нормальное уравнение... Что Вас смущает?...
-
-
26.08.2013 в 04:47Спасибо большое за Ваш комментарий. Подход с малыми перемещениями я встречал где-то раньше, но это было достаточно давно и я уже успел его забыть. А в учебнике, которым я пользуюсь, об этом подходе не упоминается (по крайней мере до того места, на котором я остановился). Вот поэтому-то я и, если можно так выразиться, немного растерялся.
А что касается моего уравнения, то (как я уже упоминал, я переделал свои собственные выкладки для предложенного Степановым расположения системы координат) полученное мной уравнение не совпадает с уравнением у Степанова. Правда, выкладки делал наспех - может быть где-то и допустил ошибку. Попробую проделать еще раз внимательно.
-
-
26.08.2013 в 08:37[PPT] Дифференциальные уравнения второго порядка
vm.tstu.tver.ru/topics/pps_lectures/goryachev/ode_3.pps
... дифференциальных уравнений 2-го порядка - уравнение погони ... Дифференциальное уравнение второго порядка может иметь вид F(x,y,y',y'') = 0 ...
Там презентация лекции, в середине которой выводится уравнение погони... уравнение полученное точь в точь как у Вас...
А отличие уравнения из учебника Степанова скорее всего связано с тем, что уравнение формулируется относительно другой переменной... (это всё равно, что Вы выписывали уравнение в терминах функции `x(y)`...) ...
-
-
26.08.2013 в 13:21-
-
27.08.2013 в 03:12Большое всем спасибо!
-
-
27.08.2013 в 09:24