Задания С4 на ЕГЭ-2013

[~ghost]

Пишет mpl (условия вариантов ЕГЭ, найденные в сети)

C4.1 Окружности радиусов `2` [`2`] [`3`] и `3` [`10`] [`5`] с центрами `O1` и `O2` соответственно касаются в точке `А`. Прямая, проходящая через точку `А`, вторично пересекает меньшую окружность в точке `В`, а большую — в точке `С`. Найдите площадь треугольника `BCO2`, если `/_ABO1 = 30°` [`22.5°`] [`15°`].

C4.2 Окружности радиусов `5sqrt(3)` и `7sqrt(3)` с центрами `O1` и `O2` соответственно касаются в точке `L`. Прямая, проходящая через точку `L`, вторично пересекает меньшую окружность в точке `K`, а большую — в точке `M`. Найдите площадь треугольника `KMO1`, если `/_LMO2 =30°`.

C4.3 Окружности радиусов `11` и `21` с центрами `O1` и `O2` соответственно касаются внешним образом в точке `С`, `AO1` и `BO2` — параллельные радиусы этих окружностей, причём `/_AO1O2 = 60°`. Найдите `AB`.

C4.4 Окружности радиусов `11` и `21` с центрами `O1` и `O2` соответственно касаются внутренним образом в точке `K`, `MO1` и `NO2` — параллельные радиусы этих окружностей, причём `/_MO1O2 =120°`. Найдите `MN`.

( в скобках [ ] - соответственно цифры других вариантов )
--------------------------------------
Еще встречалось что-то такое:

{регион - "Урал" ?}
`ABCD` - прямоугольник, стороны `AB = 15` и `CB = 25`. Построена окружность с центром в точке `A` и радиусом `r = 3`. Через вершину `C` проведена прямая, касающаяся этой окружности, и пересекающая прямую `AD` в точке `M`. Найти `AM`

{регион "Сибирь" ?}
Стороны параллелограмма равны `7` и `11`, а косинус острого угла параллелограмма `= 7/11`. Диагональ параллелограмма разбивает его на 2 треугольника. Найти угол между этой диагональю и прямой, проходящей через центры окружностей, Вписанных в эти треугольники.

{"Дальний Восток" ?}
Основания трапеции равны `2` и `7` [`5` и `9`]. На боковых сторонах трапеции взяты точки `M` и `N` так, что прямая `MN` параллельна основания трапеции. Известно, что Отрезок `MN` делится диагоналями трапеции в отношении `1:2:1`. Найти `MN`.

{Центр ?}
`ABCD` - 4-угольник, в который вписана окружность радиуса `r = 56/9`. Диагонали 4-угольника: `AC = 21` и `BD = 16`, и известно, что `AB = AD`. Найти: площадь треугольника `ABD`.

@темы: Планиметрия, ЕГЭ

Comments

[~ghost]

C4.1 Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника BCO2, если /_ABO1 = 15°.

Случай внешнего касания - как-то так:

Рассматривать площадь треугольника `BCO_2` как сумму площадей треугольников `ABO_2` и `ACO_2` здесь невыгодно.. ( Так можно сделать в другом варианте - где заданный угол `/_ABO_1 = 30`, - в том варианте можно было бы просто посчитать площади этих двух треугольников.. а здесь легко нашлась бы только площадь треугольника `ACO_2`- в котором угол между радиусами `= 150` градусов, но площадь треуг-ка `ABO_2` ( в котором угол `/_O_2AB = 165` градусов) будет считаться "плохо" ( нужен будет `sin(165) = sin(15) = (sqrt(3) -1)/(2*sqrt(2))` {а это еще надо бы вывести..}) Поэтому "так" не делаем =)
Здесь: площадь треугольника `S_{BCO_2} =1/2*CO_2*H`, где `H`- высота к стороне `CO_2`. Очевидно, что прямые параллельны: `O_1B` || `O_2C`, и расстояние между этими прямыми "везде одинаково", т.е. высота треугольника `BCO_2`, проведенная из точки `B` (на продолжение стороны `CO_2`) - такая же, как и расстояние от точки `O_1` до прямой `O_2C` , т.е. `H = 1/2*O_1O_2` (из треугольника, в котором эта высота будет катетом против 30 градусов)

дополнение от к.черный
1 случай. Тр-к АО2С - понятно, Тр-к ВАО2: АО2 основание, высота из точки В равна 1,5 (находится из прямоугольного тр-ка с углом 30 градусов)
(т.е.проводим высоту `BK` на продолжение прямой `O_1O_2` и находим ее как катет против 30 градусов в треугольнике `BKO_1`)

А в случае внутреннего касания еще и немного меняется решение..

и площадь треуг-ка `CO_2B` ищем как разность площадей треугольников `ACO_2` и `ABO_2` - для которых получаем: `S_{ACO_2} = 1/2*AO_2*CD = 1/2*R*R/2`, и `S_{ABO_2} = 1/2*AO_2*BK = 1/2*R*r/2`

P.S. Вообще самый простой из подобных вариантов - тот, в котором заданный угол `30` (тогда просто считаем площади 2-х треугольников, и находим то ли их сумму, то ли разность.. ) А если заданный угол `= 15` (или `22.5`) - то либо все-таки ищем треугольники, в которых углы `150` ( или соответственно `135`) - но "двумя треугольниками" тогда "не отделаемся" =), либо как-то так "достраиваем"..

[~ghost]

`ABCD` - прямоугольник, стороны `AB = 15` и `CB = 25`. Построена окружность с центром в точке `A` и радиусом `r = 3`. Через вершину `C` проведена прямая, касающаяся этой окружности, и пересекающая прямую `AD` в точке `M`. Найти `AM`

Вообще есть "человеческое" решение этой задачи.. Но когда я 1-ый раз ее прочитала - у меня получилась "сплошная тригонометрия" (тангенс суммы или тангенс разности..=( ) подвела попытка нарисовать "в масштабе" - я сначала не увидела подобия "очень маленького" треугольника и "очень большого".. =)) - и "нехорошее" решение тоже приведено ниже..
А "более нормально" - как-то так..

Треуг-к `MCD` подобен треугольнику `MAK` (или `M_2CD` подобен `M_2AK_2`), т.е. `|MC|/|MA| = |CD|/|AK| = 15/3 = 5`, т.е. `MC = 5*MA`, т.е. если `MA = x` , то `MC = 5x`, и теорема Пифагора для треугольника `MDC` запишется в виде:
`( x + 25)^2 + 15^2 = (5x)^2`, т.е. получим ур-ие: `12x^2 - 25x - 425 = 0` (тоже повозиться приходится.. но лучше, чем с тангенсами..)
Корни ур-ия: `x = - 5` (не подходит) или `x = 85/12` (ответ для 1-ого случая).
Или во 2-ом случае - `CM_2 = 5*AM_2`, т.е. `AM_2 = x` и `CM_2 = 5x`, т.е. `(25 - x)^2 + 225 = 25x^2` - корни такие же, только с обратными знаками (`x = - 85/12` - не подойдет, или `x = 5`)
-------------------------------
То, что у меня получилось при первом прочтении..

Диагональ `AC` находится легко (теор. Пифагора), и отрезки касательных - тоже; получаем `CK = CE = 29`; и тогда для углов `/_CAD = alpha` и `/_ACK = /_ACE = gamma` хорошо записываются тангенсы: `tg(alpha) = 3/5` и `tg(gamma) = 3/29`.
Для той касательной, которая пересекается с продолжением стороны `AD` - будет угол `/_M = alpha - gamma` =>
`tg(/_M) = ( tg(alpha) - tg(gamma) )/( 1+tg(alpha)*tg(gamma) ) = ( 3/5 - 3/ 29 )/ (1 + (3/5)*(3/29) ) = (24*3)/154 = 36/77`.
А для той касательной, которая пересекается с самим отрезком `AD` - будет `/_M_2 = alpha + gamma` =>
`tg(/_M_2) = ( tg(alpha) + tg(gamma) )/ (1 - tg(alpha)*tg(gamma) ) = ( 3 /5 + 3/ 29 ) / ( 1 - (3/5)*(3/29) ) = (34*3)/136 = 3/4`.
И тогда - для первого случая (точка `M` - на продолжении прямой `AD`): `MK = r*ctg(/_M) = 77/12`, а расстояние `AM = 85/12` (по теореме Пифагора - только "с нехорошими (большими) числами"..)
И для 2-ого случая (точка `M_2` - на отрезке `AD`): `M_2E = 4`, и `AM_2 = 5`. Т.е. ответ: `85/12` или `5`

Если на ЕГЭ попался бы такой "извращенец" ( с тангенсами ) - наверное, баллы снижать не должны были бы ?

[~ghost]

C4.3 Окружности радиусов `11` и `21` с центрами `O1` и `O2` соответственно касаются внешним образом в точке `С`, `AO1` и `BO2` — параллельные радиусы этих окружностей, причём `/_AO1O2 = 60°`. Найдите `AB`.

imho - странная задача для ЕГЭ... Это всё ? Либо `AB_2 = 11 + 21 = 32`, либо из треугольника `ADB` по теореме косинусов: `AB = 38`

[~ghost]

Стороны параллелограмма равны `7` и `11`, а косинус острого угла параллелограмма `= 7/11`. Диагональ параллелограмма разбивает его на 2 треугольника. Найти угол между этой диагональю и прямой, проходящей через центры окружностей, Вписанных в эти треугольники.

Из условия задачи видно, что одна из диагоналей параллелограмма будет перпендикулярна двум его сторонам (`BD`_|_`AB`). И эта диагональ `BD = sqrt(72) = 6*sqrt(2)`.
1-ый случай: рассматриваем эту же диагональ (перпендикулярную сторонам), 2 равных треугольника, на которые она поделила параллелограмм (`Delta ABD` и `Delta BDC`), и окружности, вписанные в эти треугольники ( и ищем угол между `BD` и прямой `SP`)
( 2-ой случай - другая диагональ, и "ее" треугольники..)

Находим радиусы этих (равных) окружностей. Если - в 1-ом случае - окружности вписаны в прямоугольные треугольники, то `r = (a + b - c)/2` {где `a` и `b` - катеты, `c` - гипотенуза}.
Вообще, известно (или легко выводится) и "общее правило": « отрезки сторон треугольника от вершины до точки касания Вписанной окружности = полусумма сторон, выходящих из данной вершины минус половина 3-ей стороны » ( или « полупериметр минус 3-я сторона » ) — это же есть в этом задании во 2-ом случае.. а если треугольник был прямоугольным, то эти "отрезки катетов - от вершины прямого угла до точек касания" - вообще сразу будут равны радиусу `r`
Т.е. `r = (7 + 6*sqrt(2) - 11)/2 = 3*sqrt(2) - 2`. Расстояние `NK = BD - 2r = 4`. И так как треугольники `SNO` и `PKO` - равные, то `NO =KO =2`. Тогда для угла между `BD` и `SP` будет `tg(alpha) = r/|NO| = (3sqrt(2) - 2)/2 = 1.5*sqrt(2) - 1`

2-ой случай немного хуже: диагональ `AC` ( НЕ перпендикулярная сторонам), и треугольники `ABC` и `ACD` ( и Вписанные в них окружности).

Имеем: `BO = OD = 3sqrt(2)` {где т. `O` - пересечение диагоналей} тогда `AO = sqrt(49 + 18) = sqrt(67)`, и вся диагональ `AC = 2*sqrt(67)`
Площадь параллелограмма: `S_{ABCD} = AB*BD = 42*sqrt(2)`, а площади треугольников `S_{ABC} = S_{ACD} = 21*sqrt(2)`.
Т.е. радиус Вписанной окружности: `r = (2S)/ P` {где `P` - полный периметр}; `r = (42*sqrt(2))/ (18 + 2sqrt(67) ) = (21sqrt(2))/(9 + sqrt(67)).
{ цифрам сама удивляюсь - но вроде же проверяла..}
Либо говорим, что "знаем" правило про « отрезки сторон треугольника - от вершины до точки касания Вписанной окружности.. », либо это правило "сами выводим":
Если `AN = AE =x`, то `AB + AC = 2x + BE + NC`, т.е. `AB + AC = 2x + BT + CT`, т.е. `AB + AC = 2x + BC`, т.е. `2x = AB + AC - BC`, т.е. `x = (AB + AC - BC)/2` {"вывод" правила..},
т.е. `x = (7 + 2sqrt(67) - 11)/2 = sqrt(67) - 2`
А т.к. `AO = sqrt(67)`, то `NO = AO - x = 2`. И из треугольника `SNO` получаем: `tg(alpha) = r/|NO| = (21sqrt(2))/(2*( 9 + sqrt(67))`.
Т.е. ответы - один другого хуже.. Угол `alpha = arctg( 3/2*sqrt(2) - 1)`, или `alpha = arctg ((21sqrt(2))/(2*( 9 + sqrt(67))) )`
то ли я где-то "накосячила" - то ли действительно такие ответы на ЕГЭ...

[~ghost]

Основания трапеции равны `5` и `9`. На боковых сторонах трапеции взяты точки `M` и `N` так, что прямая `MN` параллельна основания трапеции. Известно, что отрезок `MN` делится диагоналями трапеции в отношении `1:2:1`. Найти `MN`.

2 варианта расположения отрезка `MN` - "ниже" точки пересечения диагоналей (ближе к большему основанию) или "выше" (ближе к меньшему основанию). В обоих случаях надо рассматривать подобие треугольников..
Пусть точка `E`- пересечение `AC` и `MN`, и точка `T` - пересечение `BD` и `MN`. Т.е. `ME = x = TN` и `ET= 2x`.
1-ый случай: когда `MN` "ниже" точки пересечения диагоналей.
Треуг-к `AME` подобен треуг-ку `ABC` с коэффициентом подобия `k = |AM|/|AB|` ( `k < 1`) Т.е. `x = 5k`. И с другой стороны треуг-к `MBT` подобен треугольнику `ABD` с коэффициентом подобия ` k2 = |MB|/|AB| = |AB- AM|/|AB| = 1 -|AM|/|AB|= 1 - k`, поэтому `MT = AD*(1-k)`. т.е. `3x = 9*(1-k)`. т.е. `5k = 3*(1-k)`, т.е. `k = 3/8`, т.е. `x = 5k = 15/8`, и `MN = 4x = 15/2 = 7.5`.
И 2-ой случай: `MN` - "выше" точки пересечения диагоналей (ближе к меньшему основанию). {на рисунке все соотв. точки с индексом "2" }
`ME = y = TN` и `ET= 2y`
Треугольники подобны: `AME~ABC`, и коэффициент подобия `k = |AM|/|AB| = (3x)/5`, т.е. `y = (5/3)*k`. И с другой стороны подобны так же `MBT~~ABD`, и коэффициент подобия `k2 = |MB|/|AB| = 1 - k`,
т.е. `y/9 = 1 - k`. т.е. `5/3*k = 9*(1-k)`, т.е. `5k = 27*(1 - k)`, т.е. `32k = 27`,т.е. `k = 27/32`, т.е. `y = 45/32`, и `MN = 4y = 45/8 = 5.625`
Т.е. ответ: или `MN = 7.5` или `MN = 45/8 = 5.625`

[Гость]

Решите пожалуйста такую задачку, вроде писали что легко , но я так и не понял
С4) Окружности радиусов 3 и 9 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке А. Прямая, проходящая через точку А, вторично пересекает меньшую окружность в точке В, а большую — в точке С. Найдите площадь треугольника BCO2, если /_ABO1 = 30°.

[~ghost]

Гость, задача аналогична той, которая расписана выше..
1-ый способ (не очень красиво - но зато "сразу приходит в голову"..)

`S_{BCO2} = S_{BAO2} + S_{CAO2}`, где `S_{CAO2} = 1/2*R*R*sin(120)`, и `S_{BAO2} = 1/2*AB*R*sin(150)` - только здесь сначала надо будет найти `AB` (из треугольника `ABO_1` по теор. косинусов)
2-ой способ ( может, не сразу "бросается в глаза" - но так красивее..)

`S_{BCO2} = 1/2*a*H`, где сторона `a = CO_2 = R`, и высота `H` - это расстояние между параллельными прямыми `CO_2` и `BO_1`, т.е. `H = BD = O_1K`, и сторону `O_1K` можем найти из треуг-ка `O_1O_2K` (в котором `O_1O_2 = r + R` и угол `/_ O_1O_2K = 60`

Выше ( в первом комменте) я написала, что этот случай (когда заданный угол - "хороший", = 30 градусов ( вместо "половинок" 15 или 22.5 - как в других вариантах)) — легче, потому что в этом случае (для 30) всё легко считается "некрасивым" ( но очевидным) способом.. Для тех случаев, когда заданный угол - "половинка" (от "хорошего" угла), — для тех 1-ый способ "проходит" хуже (надо складывать//вычитать 3 треугольника - т.е. там приходится искать треугольники, в которых будут "хорошие" углы)
---------------------------
И я сейчас убежала.. Как просчитать для случая внутреннего касания окружностей - посмотрите сами =)