Пишет VEk
Несколько задач типа C5 (по материалам. найденным в сети)
ДВ7 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `27x^6+(a-2x)^3+9x^2+3a=6x` не имеет корней.
Ответ: `a>1/3`.
Указание. Сделаем замену `t=3x^2`, `p=a-2x`, тогда уравнение можно записать в виде `t^3+p^3+3t+3p=0`. Введем функцию `f(t)=t^3+3t`, тогда уравнение можно записать в виде `f(t)=-f(p)`. Учитываем монотонность `f` и ее нечетность, получаем `t=-p` или `3x^2-2x+a=0`. Дискриминант полученного уравнения равен `D/4=1-3a`.
Sib3 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7|` имеет единственный корень.
Ответ: `a=-5`
Указание. Замена `b=a+7`, тогда уравнение имеет вид `x^2+b^2=|x-b|+|x+b|`. Графиком правой части является "корыто" с дном, шириной `2b` и поднятием над осью абсцисс тоже на `2b`. Единственное решение при `b^2=2b`, это необходимое условие. Естественно, надо показать, что парабола растет быстрее чем ломаная. Достаточность проверяется. При `b= 0` она нарушается (3 решения). При `b=2` выполняется.
Ural3 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `10a+sqrt(-35+12x-x^2 )=ax+1` имеет единственный корень.
Ответ: `a in {0} uu (1/5;1/3]
Указание. Перепишем уравнение в виде `sqrt(1-(x-6)^2 )-1=a(x-10)`. Далее графическая интерпретация: левая часть - верхняя полуокружность, опущенная на 1, правая часть - прямая. Проходящая через точку (10;0).
Ural3’ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `a^2+10|x|+5sqrt(3x^2+25)=5a+3|3x-5a|` имеет хотя бы один корень.
Ответ: `a in {-5} uu [10-5sqrt(3);10+5sqrt(3)]`
Указание. Запишем уравнение в виде `10|x|-3|3x-5a|+5sqrt(3x^2+25)=5a-a^2`. Левая часть уравнения монотонно возрастает при `x>0`, и убывает при `x<0` (это, естественно, надо обосновывать: для этого рассмотреть отдельно модули и отдельно корень). Поэтому уравнение будет иметь хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда минимум левой части принадлежит множеству значений правой части.
Centr’ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |(x^2-x-2a)/(x-a)-1| <= 2 имеет единственное решение на отрезке [1;3].
Ответ: `a=3`
Указание Перепишем неравенство в виде `|((x-1)^2-1-a)/((x-1)+1-a)| <= 2`. Замена `t=x-1` приводит к неравенству `|(a-t^2+1)/(a-t-1)| <= 2`, которое должно иметь единственное решение на [0;2]. Рассмотрим полученное неравенство относительно переменной a при параметре t. (не успеваю дописать)
Centr Найти все значения a, при которых уравнение `|(x(2^x-1))/(2^x+1)+2a|=a^2+1` имеет нечетное количество решений.
Ответ: `a=+-1`.
Указание. Обозначим `f(x)=(x(2^x-1))/(2^x+1)`, и заметим, что `f(x)`- четная неотрицательная функция.
Уравнение имеет вид `|f(x)+2a|=a^2+1`. В силу четности левой части уравнения для наличия нечетного количества корней необходимо, чтобы `x=0` являлось корнем уравнения. Значит, параметр удовлетворяет соотношению `|2a|=a^2+1`, т.е. `|a|=1`.
Проверка достаточности: при `a=1` имеется единственное решение `x=0`, при `a=-1` вообще-то 3 решения, одно из них 0, и еще одно положительное.
Несколько задач типа C5 (по материалам. найденным в сети)
ДВ7 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `27x^6+(a-2x)^3+9x^2+3a=6x` не имеет корней.
Ответ: `a>1/3`.
Указание. Сделаем замену `t=3x^2`, `p=a-2x`, тогда уравнение можно записать в виде `t^3+p^3+3t+3p=0`. Введем функцию `f(t)=t^3+3t`, тогда уравнение можно записать в виде `f(t)=-f(p)`. Учитываем монотонность `f` и ее нечетность, получаем `t=-p` или `3x^2-2x+a=0`. Дискриминант полученного уравнения равен `D/4=1-3a`.
Sib3 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7|` имеет единственный корень.
Ответ: `a=-5`
Указание. Замена `b=a+7`, тогда уравнение имеет вид `x^2+b^2=|x-b|+|x+b|`. Графиком правой части является "корыто" с дном, шириной `2b` и поднятием над осью абсцисс тоже на `2b`. Единственное решение при `b^2=2b`, это необходимое условие. Естественно, надо показать, что парабола растет быстрее чем ломаная. Достаточность проверяется. При `b= 0` она нарушается (3 решения). При `b=2` выполняется.
Ural3 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `10a+sqrt(-35+12x-x^2 )=ax+1` имеет единственный корень.
Ответ: `a in {0} uu (1/5;1/3]
Указание. Перепишем уравнение в виде `sqrt(1-(x-6)^2 )-1=a(x-10)`. Далее графическая интерпретация: левая часть - верхняя полуокружность, опущенная на 1, правая часть - прямая. Проходящая через точку (10;0).
Ural3’ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `a^2+10|x|+5sqrt(3x^2+25)=5a+3|3x-5a|` имеет хотя бы один корень.
Ответ: `a in {-5} uu [10-5sqrt(3);10+5sqrt(3)]`
Указание. Запишем уравнение в виде `10|x|-3|3x-5a|+5sqrt(3x^2+25)=5a-a^2`. Левая часть уравнения монотонно возрастает при `x>0`, и убывает при `x<0` (это, естественно, надо обосновывать: для этого рассмотреть отдельно модули и отдельно корень). Поэтому уравнение будет иметь хотя бы одно решение, тогда и только тогда, когда минимум левой части принадлежит множеству значений правой части.
Centr’ Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство |(x^2-x-2a)/(x-a)-1| <= 2 имеет единственное решение на отрезке [1;3].
Ответ: `a=3`
Указание Перепишем неравенство в виде `|((x-1)^2-1-a)/((x-1)+1-a)| <= 2`. Замена `t=x-1` приводит к неравенству `|(a-t^2+1)/(a-t-1)| <= 2`, которое должно иметь единственное решение на [0;2]. Рассмотрим полученное неравенство относительно переменной a при параметре t. (не успеваю дописать)
Centr Найти все значения a, при которых уравнение `|(x(2^x-1))/(2^x+1)+2a|=a^2+1` имеет нечетное количество решений.
Ответ: `a=+-1`.
Указание. Обозначим `f(x)=(x(2^x-1))/(2^x+1)`, и заметим, что `f(x)`- четная неотрицательная функция.
Уравнение имеет вид `|f(x)+2a|=a^2+1`. В силу четности левой части уравнения для наличия нечетного количества корней необходимо, чтобы `x=0` являлось корнем уравнения. Значит, параметр удовлетворяет соотношению `|2a|=a^2+1`, т.е. `|a|=1`.
Проверка достаточности: при `a=1` имеется единственное решение `x=0`, при `a=-1` вообще-то 3 решения, одно из них 0, и еще одно положительное.
-
-
04.06.2013 в 17:43Одно из заданий С5
(вроде регион "Урал", 2013) Найти все значения параметра `a`, при каждом из которых уравнение `ax + sqrt( -7 -8x -x^2) = 2a +3` имеет единственное решение
`ax + sqrt(-7-8x-x^2) =2a+3` перепишем как `sqrt(-7 - 8*x - x^2) = a*(-x + 2) + 3`...
`y = sqrt(-7 - 8*x - x^2) ` - уравнение верхней половины окружности с центром `(-4; 0)` и радиуса `3`...
`y = a*(-x + 2) + 3` - прямая, проходящая через точку `(2; 3)`... и угловым коэффициентом `k = -a`...
Графики имеют одну общую точку в следующих случаях
1) касание с окружностью в точке `(-4; 3)`... при этом `a = 0`...
2) угловые коэффициенты прямых, проходящих через точки на оси икс от точки `(-7; 0)` (не включая этот случай, поскольку получаем 2 точки пересечения) до точки `(-1; 0)`... Получаем `k in (3/9; 3/3]`...
Итого, `a in [-1; -1/3) uu {0}`...
-
-
04.06.2013 в 17:44По моим воспоминаниям - такое задание было где-то в "тренировочных вариантах", и встречалось около года назад, здесь, на сайте..
(Sib3, 2013) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение `x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7|` имеет единственный корень.
Искать решение - долго, а подсказывал там VEk
Насколько получается - пытаюсь восстановить решение.. полностью текст можно расписать как-то так..
Можно показать, что `f(x) = |x - a - 7| + |x + a + 7|` - четная ф-ия ( действительно `f( - x) = | - x - a - 7| + | - x + a + 7| = |x + a + 7| + |x - a - 7| = f(x)` - для каждого `x in RR`);
т.е. в обеих частях уравнения `x^2+(a+7)^2=|x-7-a|+|x+a+7|` - четные функции (от `x`), т.е. если построить графики левой и правой части - то точки пересечения таких графиков (если они будут) окажутся симметричны относительно оси `OY` ( иначе говоря: если `x_0` является решением, то и `( - x_0)` тоже будет решением уравнения); а тогда решение может быть единственным только если это решение `x = 0`. Поэтому находим значения параметра, при которых `x = 0` удовлетворяет уравнению, и затем среди этих значений параметра выбираем ТЕ, при которых НЕ будет других решений (кроме `x = 0`)
Если `x = 0`, то в ур-и получим: `(a+7)^2 = |-7-a| + |a + 7|`, т.е. `(a+7)^2 = 2*|a+7|`, т.е. `b^2 = 2b` ( где `b = |a+7|`), т.е. `b =0` или `b = 2` , то есть `|a + 7| =0` или `|a + 7| = 2`, то есть `a = - 7`, или `a = - 5`, или `a = - 9`.
Т.е. `x = 0` является решением только при `a = -7`, `a = -5`, и `a = -9` — и среди этих `a` находим ТЕ, при которых не будет других решений (кроме `x = 0`).
Если `a = - 7`, то получаем уравнение: `x^2 = 2*|x|` - очевидно, имеет 3 решения ( `x = 0`, `x = 2` и ` x= - 2`) — и это "не подходит";
а если `a = - 5` или `a = - 9`, то: `x^2 + 4 = |x+2| + |x - 2|` {ур-ие будет одинаковым для `a = - 5` и для `a = - 9`};
раскрываем модули: (1) при `x in (-infty; -2]` будет `x^2 + 4 = -x - 2 + 2 - x`, т.е. `x^2 + 2x + 4 = 0` - нет решений;
(2) при `x in (-2;2]` будет `x^2 + 4 = x + 2 + 2 - x`, т.е. `x^2 = 0`, т.е. `x = 0`;
и (3) при `x in (2; + infty)` будет `x^2 -2x + 4 = 0` - нет решений;
т.е. ур-ие `x^2 + 4 = |x+2| + |x - 2|` имеет единственный корень ( `x = 0`).
Т.е. "подходящие" значения параметра: `a = - 5` или `a = - 9` (ответ)
-
-
04.06.2013 в 17:47здесь я немного "торможу".. Почему условие « `x = 0` - корень » - только необходимое ? разве оно не является еще и достаточным ? ( если `x = 0` - корень, то 1 корень уже есть.. а остальные —"неважно".. т.е. либо других корней больше нет ( и количество корней - всего 1 - нечетное), либо их ("других корней") - четное количество ( с корнем `x = 0` будет НЕ четное).. Т.е. может так:
Покажем, что `f(x) = |(x*(2^x - 1)) / (2^x + 1) + 2a |` - четная ф-ия:
`f( - x) = | ( -x*(2^(-x) -1)) / (2^(-x) + 1) + 2a | = | ( -x*( 1/(2^x) -1)) / (1/(2^x) + 1) + 2a| = | [x*(2^x -1)/(2^x) ]*[ (2^x)/(2^x + 1)] + 2a | = | (x*(2^x -1))/(2^x + 1) + 2a| = f(x)`
(т.е. `f( - x) = f(x)` при каждом `x in RR`, т.е. четная).
И график четной ф-ии `f(x)` пересекается "с константой" ( с графиком `y = a^2 +1`) НЕ четное количество раз - в том, и только в том случае, когда одно из пересечений - при `x = 0`. Т.е. уравнение имеет нечетное количество решений - тогда и только тогда, когда одно из этих решений - это `x = 0`.
А если `x = 0`, то получаем: `|2a| = a^2 +1`, т.е. `a^2 - 2*|a| + 1 = 0`, т.е. `(|a| - 1)^2 = 0`, т.е. `|a| = 1`, т.е. `a = 1` или `a = - 1`
?? надо ли еще что-нибудь проверять ? или можно на этом остановиться ?