Разумеется, хорошая математика всегда красива. Пол Коэн Сегодня исполнилось бы 79 лет со дня рождения выдающего...

вторник, 02 апреля 2013

22:32

все записи пользователя в сообществе Amicus Plato

Простыми словами

Разумеется, хорошая математика всегда красива.
Пол Коэн

Сегодня исполнилось бы 79 лет со дня рождения выдающегося американского математика Пола Джозефа Коэна.
Пишу о нем, в частности, потому, что главным его достижением было доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы. Если пойти чуть дальше, окажется, что речь идет о невозможности ее доказательства в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. А аксиома выбора — это как раз то, что позволяет доказывать многие удивительные вещи, и, в частности, именно благодаря ей возможен парадокс Банаха — Тарского, о котором мы говорили совсем недавно.

Пол Джозеф Коэн (англ. Paul Joseph Cohen; 2 апреля 1934, Лонг-Бренч, Нью-Джерси, США — 23 марта 2007, Стэнфорд, Калифорния, США) — американский математик, профессор Стэнфордского университета.

Достижения
Пол Дж. Коэн достиг значительных успехов в самых разных областях математики.
Вершиной профессиональной деятельности Коэна в области теории множеств стало опубликованное в 1963 году доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы (доказательство невозможности опровергнуть которую сделано в 1940 году Куртом Гёделем).

Вот что он сам говорил по этому поводу:
The notion of a set is too vague for the continuum hypothesis to have a positive or negative answer.

Биография

Его работы оказали большое влияние на становление и развитие математики.
Линдон Бэйнс Джонсон

Пол Джозеф Коэн (2 апреля 1934 – 23 марта 2007) – профессор Стэнфордского университета, американский математик.
Коэн родился в городе Лонг-Бранч, штата Нью-Джерси на северо-востоке США, в еврейской семье, которая эмигрировала из Польши. Пол был самым младшим из четырех детей своих родителей. Большую часть юности провёл в Бруклине (Нью-Йорк). С девяти лет он воспитывался только матерью, поскольку его родители развелись. С детства мальчик проявлял редкий интерес к математике. Пол Коэн начал изучать высшую математику с самого раннего возраста. Уже в девять лет он читал книги по высшей математике, которые ему приносила старшая сестра из нью-йоркской библиотеки. На протяжении всей своей юности Коэн считался математическим чудом, свои способности он проявлял, участвуя и побеждая в различных математике соревнованиях и олимпиадах.
В 1950 году будущий математик окончил престижную среднюю школу в Нью-Йорке и продолжил образование в колледже Бруклина. Спустя неполных три года оставил колледж так и не получив степени бакалавра, так как бал приглашён в аспирантуру Чикагского университета.
В Чикаго Коэн получил степень магистра в математике в 1954 году, и степень доктора философии в 1958 году.
В 1957 году, еще до присуждения докторской степени, Коэн получил должность преподавателя в университете Рочестера. Затем он провел 1958-1959 учебный год в Массачусетском технологическом институте. С 1959 года по 1961 год Коэн – научный сотрудник в Институте перспективных исследований в Принстоне.
В 1961 году Пол Коэн начал научную и педагогическую деятельность в Стэнфордском университете, где продолжал работать до 2004 года. Преподавания не оставлял до последних месяцев жизни.
Пол Джозеф Коэн достиг значительных успехов в самых разных областях математики. Вершиной профессиональной деятельности Коэна в области теории множеств стало опубликованное в 1963 году доказательство невозможности доказательства континуум-гипотезы (доказательство невозможности опровергнуть которую сделано в 1940 году Куртом Гёделем).
Немного истории. В 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум-гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом: "Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным". Другими словами, мощность континуума – наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC – системе аксиом Цермело – Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC.
Коэн прославился на весь мир тем, что в сфере его внимания оказывались самые сложные математические задачи, над решением которых билось все ученое сообщество.
За свои заслуги Пол Коэн неоднократно удостаивался всевозможных ученых премий:
• лауреат премии Бохера (1964) за достижения в области анализа;
• медаль Филдса (1966) – самая престижная математическая награда – за изучение логики (1966);
• Национальная медаль США за научные достижения (1967) – за исследования в области логики. Церемония состоялась в Белом доме 13 февраля 1968 года, медаль вручал 36-й президент Соединённых Штатов Америки Линдон Джонсон;
• являлся почетным членом Лондонского научного общества.
Пол Джозеф Коэн имел множество различных увлечений, в частности, он являлся известным полиглотом: говорил на английском, шведском, французском, испанском, немецком языках и идише. Математик любил играть на фортепьяно, скрипке, пел в стэнфордском хоре и шведской фольклорной группе. Его коллеги отмечали, что любому делу, которым он занимался, Коэн отдавал всю свою энергию и азарт. У него была большая семья, причем со своей женой, шведкой Кристиной, он познакомился во время поездки по Европе (на борту круизного теплохода, следовавшего из Стокгольма в Ленинград).
23 марта 2007 года в Стэнфорде на 73-м году жизни от редкой болезни легких Пол Джозеф Коэн скончался.
(с) math4school.ru/cohen.html

И буквально пара слов о собственно континуум-гипотезе.
Континуум-гипотеза
читать дальшеВ 1877 году Георг Кантор выдвинул и впоследствии безуспешно пытался доказать так называемую континуум-гипотезу, которую можно сформулировать следующим образом:

Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным.

Другими словами, мощность континуума — наименьшая, превосходящая мощность счетного множества, и «промежуточных» мощностей между счетным множеством и континуумом нет.

История
Континуум-гипотеза стала первой из двадцати трёх математических проблем, о которых Гильберт доложил на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Поэтому континуум-гипотеза известна также как первая проблема Гильберта.
В 1940 году Гёдель доказал, что отрицание континуум-гипотезы недоказуемо в ZFC — системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора, а в 1963 году Коэн с помощью разработанного им метода форсинга (англ.) доказал, что континуум-гипотеза также недоказуема в ZFC. Оба эти результата опираются на предположение о непротиворечивости ZFC, причем оно является необходимым, так как в противоречивой теории любое утверждение является тривиально доказуемым. Таким образом, континуум-гипотеза является независимой от ZFC.
В предположении отрицания континуум-гипотезы `ZFC+neg CH` имеет смысл задавать вопрос: для каких ординалов `alpha` может выполняться равенство `C=aleph_alpha`? Ответ на этот вопрос даёт доказанная в 1970 году теорема Истона.

Эквивалентные формулировки
Известно несколько утверждений, эквивалентных континуум-гипотезе:

Прямая `RR` может быть раскрашена в счётное количество цветов так, что ни для какой одноцветной четверки чисел `a, b, c, d` не выполняется условие `a+b=c+d`.
Плоскость `RR^2` может быть полностью покрыта счётным семейством кривых, каждая из которых имеет вид `y=f(x)` (то есть имеет единственную точку пересечения с каждой вертикальной прямой) или `x=f(y)` (имеет единственную точку пересечения с каждой горизонтальной прямой).
Пространство `RR^3` можно разбить на 3 множества так, что они пересекаются с любой прямой, параллельной осям `Ox`, `Oy` и `Oz`, соответственно, лишь в конечном числе точек.
Пространство `RR^3` можно разбить на 3 множества так, что для каждого из них существует такая точка `P`, что это множество пересекается с любой прямой, проходящей через `P`, лишь в конечном числе точек.

@темы: История математики, Люди