[Amicus Plato]

Сегодня исполняется 283 года со дня рождения выдающегося французского математика Этьенна Безу.


Википедия пишет о нем очень кратко. Придется и мне...
Этьенн Безу (фр. Étienne Bézout; 31 марта 1730, Немур — 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) — французский математик, член Парижской академии наук (1758).
Биография
Преподавал математику в Училище гардемаринов (1763) и Королевском артиллерийском корпусе (1768). Основные его работы относятся к алгебре (исследование систем алгебраических уравнений высших степеней, исключение неизвестных в таких системах и др.). Автор шеститомного «Курса математики» (1764—1769), неоднократно переиздававшегося.

---

Но зато можно поговорить о его результатах. Они известны многим!

1. Теорема Безу
Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена `P(x)` на двучлен `(x-a)` равен `P(a)`.
Предполагается, что коэффициенты многочлена содержатся в некотором коммутативном кольце с единицей (например, в поле вещественных или комплексных чисел).

Следствия

• Число `a` является корнем многочлена `P(x)` тогда и только тогда, когда `P(x)` делится без остатка на двучлен `x-a` (отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена `P(x)` тождественно множеству корней соответствующего уравнения `P(x)=0` ).
• Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
• Пусть α — целый корень приведённого многочлена A(x) с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого k число A(k) делится на α-k.

Приложения
Теорема Безу и следствия из неё позволяют легко находить рациональные корни полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами.

2. Соотношение Безу
В теории чисел соотношение Безу — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:

Пусть a, b — целые числа, хотя бы одно из которых не нуль. Тогда существуют такие целые числа x, y, что выполняется соотношение:
НОД(a,b) = x·a + y·b.

Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.
Соотношение НОД(a,b) = x·a + y·b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.

Следствие
Если числа `a, b` взаимно простые, то уравнение:
`ax+by=1`
имеет целочисленные решения. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

3. Кольцо Безу
Кольцо Безу (названное по имени французского математика Этьена Безу) — это всякая область целостности, в которой каждый конечнопорождённый идеал является главным. Из этого определения следует, что кольцо Безу нётерово тогда и только тогда, когда оно кольцо главных идеалов, обобщением которых кольца Безу и являются.
Целостное кольцо является кольцом Безу тогда и только тогда, когда в этом кольце любые два элемента имеют наибольший общий делитель (НОД), представимый в виде их линейной комбинации. (Это условие означает, что каждый идеал с двумя образующими допускает одну образующую, из чего по индукции выводится, что каждый конечнопорождённый идеал является главным.) Представление НОДа двух элементов их линейной комбинацией часто называют тождеством Безу.

Свойства
Для кольца Безу R следующие условия эквивалентны:

1. R — кольцо главных идеалов.
2. R — нётерово.
3. R — область с однозначным разложением (факториальное кольцо).
4. R удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепочек главных идеалов.
5. Всякий элемент R разложим в произведение неприводимых элементов.

@темы: История математики, Люди

Comments

[All_ex]

Amicus Plato, Спасибо!...

[~ghost]

Amicus Plato, спасибо!)
или все-таки ему повезло - и судьба не настолько трагична, как у многих других, или просто о его жизни меньше известно.. ( а прожил немного.. =( )

[Amicus Plato]

~ghost, в интернете ничего нет(
Вот нашелся один сайт:
bookel.ucoz.ru/page12.htm
Но там он родился на 9 лет позже, чем на самом деле ((
Не знаю... Может быть, никто им сильно не интересовался...

[~ghost]

да я ж не с тем, чтобы "упрекать".. что Вы)))
а если о нем меньше известно - может, можно надеяться, жил счастливо..)))

[Amicus Plato]

~ghost, ))
да я и не оправдываюсь...
Просто докладываю обстановку

[~ghost]

[VEk]

Благодарю!