|
Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов. Когда он сужается и становится бесконечно малым, то превращается в точку. Тогда человек говорит: "Это моя точка зрения".
Давид Гильберт
Wir müssen wissen. Wir werden wissen.
Давид Гильберт
|
Сегодня исполняется
151 год со дня рождения
Давида Гильберта.
(Красивый палиндром, не правда ли?)
Про Гильберта писать можно очень много и очень интересно!
(И мне жаль, что до конца суток уже мало времени и придется в основном цитировать Википедию).
Давид Гильберт (нем. David Hilbert; 23 января 1862 — 14 февраля 1943) — немецкий математик-универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областей математики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) был признанным мировым лидером математиков.
Здесь я пропускаю "биографию" и "научную деятельность" и приступаю сразу к конкретике.
МатематикаВ теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периода бурного развития этой области математики во второй половине XIX века. Им доказана основная теорема о существовании конечного базиса системы инвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чисел преобразовали эту область математики и стали исходным пунктом её последующего развития. В своём классическом обзоре он дал глубокое и содержательное изложение данного материала. Усилиями немецких математиков — Дирихле, Куммера, Кронекера, Дедекинда, затем Нётер и Минковского — была создана законченная теория делимости для числовых полей, основанная на понятиях идеала и простого идеала. Однако открытым оставался вопрос, что происходит с простым идеалом поля при включении его в «надполе», и в связи с этой трудной проблемой Гильберт ввел ряд важных новых понятий, сформулировал и частично доказал основные относящиеся сюда результаты. Полное их доказательство и дальнейшее развитие стало делом некоторых из самых выдающихся его последователей.
В развитии теории алгебраических полей фундаментальную роль сыграла монография Гильберта «Теория полей алгебраических чисел», на десятилетия ставшая основой последующих исследований по этой теме. Среди собственных открытий Гильберта выделяется его развитие теории Галуа, в том числе важная «90-я теорема».
Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработке так называемых прямых методов в вариационном исчислении.
Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричным ядром составила одну из основ современного функционального анализа и особенно спектральной теории линейных операторов.
Гильберт сразу показал себя убеждённым сторонником канторовской теории множеств и защищал её от критики многочисленных противников. Он говорил: «Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Сам Гильберт, впрочем, эту область не разрабатывал, хотя косвенно затрагивал в трудах по функциональному анализу.
Обоснование математикичитать дальшеКлассические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом для дальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идея построения модели одной математической структуры на базе другой использовалась и до Гильберта (например, У. Р. Гамильтоном), только Гильберт реализовал её с исчерпывающей полнотой. Он не только дал полную аксиоматику геометрии, но также детально проанализировал эту аксиоматику, доказав (построив ряд остроумных моделей) независимость каждой из своих аксиом.
К 1922 году у Гильберта сложился значительно более обширный план обоснования всей (или хотя бы значительного, общепринятого фрагмента) математики путём её полной формализации с последующим «метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованной математики. Для осуществления этой программы Гильберт разработал строгую логическую теорию доказательств, продолжая работы Фреге с помощью которой непротиворечивость математики свелась бы к доказательству непротиворечивости арифметики. При этом Гильберт использовал только общепризнанные логические средства (логику первого порядка). Его программа оказалась невыполнимой, как впоследствии установил К. Гёдель, хотя послужила значительным стимулом к развитию логики.
Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П. Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-м и 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости формализованных математических теорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом, и использует созданные им концепции.
Считая с логической точки зрения необходимой полную формализацию математики, Гильберт в то же время верил в силу творческой математической интуиции. Он был большим мастером в высшей степени наглядного изложения математических теорий. В этом отношении замечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С. Кон-Фоссеном. Вместе с тем Гильберт был решительным противником попыток интуитивистов ввести ограничения на математическое творчество (например, запретить теорию множеств, аксиому выбора или даже закон исключённого третьего). Эта позиция породила в научной среде дискуссию, в ходе которой теорию доказательств Гильберта (особенно после работ Гёделя) часть математиков обвиняла в бессодержательности и называли пустой игрой с формулами.
Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта, изданное под его наблюдением (1932—1935), кончается статьёй «Познание природы», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать» (Wir müssen wissen. Wir werden wissen.).Физикачитать дальшеВ физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода, и считал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделать эту процедуру с физикой.
Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравнений Эйнштейна — основных уравнений общей теории относительности, проведённый им в ноябре 1915 года практически одновременно с Эйнштейном (см. об этом: Гильберт и уравнения гравитационного поля). Фактически Гильберт первым получил правильные уравнения поля общей теории относительности, хотя опубликовал их позже. Кроме того, неоспоримо существенное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельной работы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период в интенсивной переписке).
Независимо от вопроса о приоритете, Гильберт первым использовал при выводе этих уравнений вариационный метод, ставший впоследствии одним из основных в теоретической физике. Очевидно, это был первый в истории физики случай, когда неизвестные до этого уравнения фундаментальной теории были получены таким путем (по крайней мере, если говорить о подтвердившихся теориях).
Представляет интерес также следующий случай: в 1926 году после создания матричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решили проконсультроваться у Гильберта, существует ли область математики, в которой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что с похожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существования решений дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решили не изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингер создал волновую квантовую механику, основное уравнение которой — уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частных производных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старого матричного и нового волнового.
Оценки и личные качества
Герман Вейль так оценил роль Давида Гильберта в математике:
Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним… Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешённые проблемы, которые… действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическом сообществе.
Современники вспоминают Гильберта как человека жизнерадостного, чрезвычайно общительного и доброжелательного, отмечают его исключительное трудолюбие и научный энтузиазм.
И позволю себе процитировать фрагменты топика в своем сообществе. Они частично перекликаются с разделом Википедии об обосновании математики, но всё же...
Давид Гильберт и метаматематика
В своем докладе "Математические проблемы" в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже, 8 августа, Гильберт сформулировал 23 проблемы математики.
Ни до, ни после этого ни один математик не выступал с научным сообщением, охватывающим проблемы математики в целом!
Перечислять эти проблемы я здесь не буду. Только процитирую небольшой отрывок из вступительной части доклада, в которой сформулирован "тезис", выражающий глубокую уверенность в неограниченном могуществе человеческого познания и дающий мощный отпор агностицизму.
"... вот проблема или решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления; ибо в математике не существует Ignorabimus! ("мы не будем знать")"
Гильберт был одним из самых разносторонних и широко одаренных математиков. (Гильбертово пространство, Гильбертов кирпич, оператор Гильберта-Шмидта, теоремы Гильберта, преобразование Гильберта, система аксиом Гильберта — вот лишь часть терминов, носящих его имя).
Но я хочу рассказать о, наверное, самом масштабном его проекте. О метаматематике.
В начале 20 века математику очень сильно лихорадило. Парадокс Рассела пошатнул основы молодой теории множеств. И при этом требовалось лишь легкое изменение в формулировке, чтобы перевести этот парадокс в противоречие, которое можно было бы сформулировать в терминах самых основных логических понятий. Никогда ранее парадоксы не возникали на таком элементарном уровне, затрагивая так сильно самые фундаментальные понятия двух самых "точных" наук — логики и математики.
Вот как раз в это сложное для математики время Гильберт выступил с проектом программы обоснования математики.
Основной проблемой стал поиск надежного метода доказательства непротиворечивости классической математики.
Такой метод и был предложен Гильбертом. Он состоял из двух этапов.
Прежде всего, математика должна быть формализована, т.е. нужно построить формальную систему, из аксиом которой с помощью некоторого четко описанного множества правил вывода можно было бы вывести все основные математические теоремы.
В качестве второго шага Гильберт собирался доказать непротиворечивость формальной математики. Предложенный им для этого метод основан на трактовке непротиворечивости как отсутствия противоречия, т.е. отсутствии двух теорем, являющихся отрицанием друг друга.
Программа Гильберта оказалась невыполнимой.
В 1931 году немецкий математик Курт Гёдель доказал, что всякая непротиворечивая формализация арифметики неполна в том смысле, что всегда можно указать истинное арифметическое предложение, которое недоказуемо средствами данной формальной системы.
Надежды Гильберта на формализацию всей математики не оправдались…
А самое важное это то, что Гёдель показал, что если [достаточно выразительная] формальная система непротиворечива, то хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на языке этой системы, его нельзя доказать средствами этой же системы.
Иными словами, мы никогда не можем знать достоверно противоречива формальная система или нет.
Можем только полагаться на свою интуицию.
А сама теорема Гёделя о неполноте напрямую относится ко второй проблеме Гильберта.
Википедия пишет, что до сих пор среди математического сообщества нет консенсуса относительно того решена она или нет. Проблема звучит так: аксиомы арифметики противоречивы или нет? Гёдель доказал, что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать, исходя из самих аксиом арифметики (если только арифметика не является на самом деле противоречивой).
-
-
23.01.2013 в 23:24-
-
24.01.2013 в 00:15цитаты...
-
-
24.01.2013 в 02:37-
-
24.01.2013 в 09:25-
-
09.02.2015 в 20:14-
-
09.02.2015 в 20:27