[Amicus Plato]

`delta=4,6692016...` Именно такой является скорость перехода к беспорядку осцилляторов, популяций, жидкостей и вообще всех систем, испытывающих удвоение периода! Универсальность теории такова, что большинство измеримых параметров любой из таких систем в пределе хаотического движения может быть определено без помощи специальных, описывающих данную систему уравнений, т.е. если система переходит к хаотическому поведению путем удвоения периода, (качественная характеристика), ее количественные характеристики становятся полностью заданными. Митчелл Фейгенбаум

Сегодня исполняется 68 лет со дня рождения выдающегося математика и физика Митчелла Фейгенбаума.


Что касается наших современников, Википедия здесь отличается особой краткостью.

Митчелл Фейгенбаум (англ. Mitchell Jay Feigenbaum; род. 19 декабря 1944, Филадельфия, США) — американский специалист в области физико-математических наук. Один из пионеров теории хаоса. Исследовал явление турбулентности. Открыл в 1976 путь к хаосу через каскад удвоения периода. Открыл универсальную постоянную, названную его именем. Работал в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Лауреат премии Вольфа по физике (1986).

---

Теория хаоса
Экскурс в теорию хаоса я взяла с сайта: Викизнание
К хаосу системы могут переходить разными путями. Среди последних выделяют бифуркации, которые изучает теория бифуркаций. Бифуркация (от лат. bifurcus - раздвоенный) представляет собой процесс качественного перехода от состояния равновесия к хаосу через последовательное очень малое изменение (например, удвоение Фейгенбаума при бифуркации удвоения) периодических точек. Обязательно необходимо отметить, что происходит качественное изменение свойств системы, т.н. катастрофический скачок. Момент скачка (раздвоения при бифуркации удвоения) происходит в точке бифуркации. Хаос может возникнуть через бифуркацию, что показал Митчел Фейгенбаум (Feigenbaum). При создании собственной теории о фракталах Фейгенбаум, в основном, анализировал логистическое уравнение `X_(n + 1) = CX_n − C(X_n)^2`, где С - внешний параметр, откуда вывел, что при некоторых ограничениях во всех подобных уравнениях происходит переход от равновесного состояния к хаосу. Ниже рассмотрен классический биологический пример этого уравнения. Например, изолированно живет популяция особей нормированной численностью `X_n`. Через год появляется потомство численностью `X_(n + 1)`. Рост популяции описывается первым членом правой части уравнения `CX_n`, где коэффициент `C` определяет скорость роста и является определяющим параметром. Убыль животных (за счет перенаселенности, недостатка пищи и т.п.) определяется вторым, нелинейным членом `C(X_n)^2`. Результатом расчетов являются следующие выводы: - при `C < 1` популяция с ростом n вымирает; - в области `1 < C < 3` численность популяции приближается к постоянному значению `X_0 = 1 − 1 / C`, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении `C = 3` точка бифуркации становится отталкивающей фиксированной точкой. С этого момента функция уже никогда не сходится к одной точке. До этого точка была притягивающая фиксированная; - в диапазоне `3 < C < 3.57` начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается; - при `C > 3.57` происходит перекрывание областей различных решений (они как бы закрашиваются) и поведение системы становится хаотическим. Отсюда вывод - заключительным состоянием эволюционирующих физических систем является состояние динамического хаоса. Зависимость численности популяции от параметра `С` приведена на следующем рисунке.
Динамические переменные `X_n` принимают значения, которые сильно зависят от начальных условий. При проведенных на компьютере расчетах даже для очень близких начальных значений `С` итоговые значения могут резко отличаться. Более того, расчеты становятся некорректными, так как начинают зависеть от случайных процессов в самом компьютере (скачки напряжения и т.п.). Таким образом, состояние системы в момент бифуркации является крайне неустойчивым и бесконечно малое воздействие может привести к выбору дальнейшего пути движения, а это, как мы уже знаем, является главным признаком хаотической системы (существенная зависимость от начальных условий). Фейгенбаум установил универсальные закономерности перехода к динамическому хаосу при удвоении периода, которые были экспериментально подтверждены для широкого класса механических, гидродинамических, химических и других систем. Результатом исследований Фейгенбаум стало т.н. «дерево Фейгенбаума».

Вот здесь о том же, несколько более полно: Теория хаоса в экономике

Вот небезынтересная статья с даже написанными программками: mathscinet.ru/books/chaos/index.php?help=0
Фото Фейгенбаума оттуда:


Там же есть ссылка под назавнием страничка доктора Демидова.
А еще ссылка на статью самого Фейгенбаума в "Успехах физических наук". Универсальность в поведении нелинейных систем. Именно оттуда я взяла эпиграф.

Константа Фейгенбаума
Постоянная Фейгенбаума — универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом Фейгенебаумом в 1975 году.
Константа Фейгенбаума равна

и получается как сходящееся число, при решении бесконечного числа итераций уравнений:
`x_(n+1)=ax_n(1-x_n)` или `x_(n+1)=a sin x_n`.
Физический смысл — скорость перехода к беспорядку систем, испытывающих удвоение периода.

В статье 10 чисел, на которых держится мир написано в том числе и про `delta`. В частности, все мы знаем, что день числа Пи празднуется 14 марта. А когда и как праздновать день `delta`? День `delta` празднуют перед каждой генеральной уборкой.

Ну и наконец, бифуркационная диаграмма.


В заключении хочу обратиться к нашим книжным полкам. В маленьком обзоре всего не расскажешь...
Литература о фракталах
Очень рекомендую на эту тему две книги:
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах.
Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая.
Обе написаны очень хорошо. Шрёдер мне нравится чуть больше, но это уже вопрос личных предпочтений.

@темы: История математики, Люди

Comments

[Гость]

Спасибо!

[All_ex]

Amicus Plato, ... Спасибо!...

[~ghost]

Amicus Plato, Спасибо! =)