[Amicus Plato]

Men pass away, but their deeds abide. Вроде бы, последние слова Коши

Вряд ли он сказал их по-английски, но у меня не хватает духу перевести так, чтобы не выхолостить...

Сегодня исполняется ровно 223 года (это ровно сорок восьмое простое число) со дня рождения Огюстена Луи Коши.


Вот что пишет Википедия:

Биография и научная деятельность

Огюсте́н Луи́ Коши́ (фр. Augustin Louis Cauchy; 21 августа 1789, Париж — 23 мая 1857, Со, Франция) — великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий.
Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших учёных Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

Научная деятельность
Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов. Его работы относятся к различным областям математики (преимущественно к математическому анализу) и математической физики.
Коши впервые дал строгое определение основным понятиям математического анализа — пределу, непрерывности, производной, дифференциалу, интегралу, сходимости ряда и т. д. Его определение непрерывности опиралось на понятие бесконечно малого, которому он придал новый смысл: у Коши бесконечно малое — переменная величина, стремящаяся к нулю. Ввёл понятие радиуса сходимости ряда. Курсы анализа Коши, основанные на систематическом использовании понятия предела, послужили образцом для большинства курсов позднейшего времени.
Коши много работал в области комплексного анализа, в частности, создал теорию интегральных вычетов. В математической физике глубоко изучил краевую задачу с начальными условиями, которая с тех пор называется «задача Коши».

---

Произведение Коши

Произведение Коши
Чтобы как-то скрасить сухую статистику (хоть и очень впечатляющую), напишу про произведение Коши.
Материал опять же из Википедии, но уже повеселей. Прежде чем писать о самом произведении Коши, напишу про ряд:
`1 − 2 + 3 − 4 + … `— это числовой ряд, слагаемые которого по модулю представляют собой последовательные натуральные числа и имеют чередующийся знак. Частичная сумма с номером `m` этого ряда описывается выражением:
`sum_(k=1)^(m) n(-1)^(n-1)`
Такой числовой ряд расходится, то есть частичные суммы `(1, −1, 2, −2, ...)` не стремятся ни к какому конечному пределу. Тем не менее, в середине 18-го века Леонард Эйлер предложил выражение, которое он охарактеризовал как парадоксальное:
`1 − 2 + 3 − 4 + … =1/4`
Математический аппарат, позволяющий интерпретировать это выражение, был разработан гораздо позже.
И вот, переходя к этому самому математическому аппарату, мы приходим, в том числе, и к произведению Коши. Далее опять цитирую Википедию:
В 1891 году Эрнесто Чезаро выразил надежду, что анализ расходящихся рядов выльется в исчисление, указывая: «Уже пишут `(1 − 1 + 1 − 1 + …)^2 = 1 − 2 + 3 − 4 + …` и утверждают, что обе стороны равны `1/4`». Для Чезаро это выражение было применением теоремы, опубликованную им годом ранее, и которую можно считать первой теоремой в истории суммируемых расходящихся рядов.
Основная идея состоит в том, что `1 − 2 + 3 − 4 + … ` является произведением Коши `1 − 1 + 1 − 1 + …` на `1 − 1 + 1 − 1 + …`.
Не буду выписывать формулы и давать определения, а просто приведу картинку. Произведение двух бесконечных последовательностей `1 − 1 + 1 − 1 + …` и `1 − 1 + 1 − 1 + …` выглядит так:

По-моему это чудо как красиво!

@темы: История математики, Люди

Comments

[VEk]

Спасибо!

[_ТошА_]

В обобщенном суммировании приписывают ряду из `1-1+1-1..` сумму `1/(1 + x) = 1 - x + x^2 - x^3 = sum_(n=0)^(oo)(-1)^nx^n`, разложение которой вообще говоря верно лишь при `|x|<1`, беря за х число 1, отсюда и получается `1/2`. Квадрат соответственно равен `1/4`.
Интересно, что такими способами суммируя, многие парадоксальные расходимости оказываются сходящимися.

[~ghost]

Спасибо!

[Amicus Plato]

_ТошА_, спасибо!

[All_ex]

Спасибо!....

Я никогда не приписываю формулам неограниченную область правильности. В действительности большая часть формул справедлива только при выполнении некоторых условий. Определение этих условий и, конечно, уточнение смысла употребляемых терминов заставляют у меня исчезать всякую неопределенность О. Коши

[Amicus Plato]

заставляют у меня исчезать всякую неопределенность

Крутой нрав проявлял Коши по отношению ко всяким неопределенностям