[like_ship_in_the_night]

Пусть p, q - простые, p>q>3. Доказать, что (`p^2 - q^2`) делится на 24, причем доказать нужно, разложив `p^2 - q^2` на множители.

начал решать так: поскольку p и q - простые и больше 3, то можно представить их в виде, соответственно, p = 2k+1, q=2m+1, где k и m - некоторые натуральные числа. Подставляя эти значения, получим, что `p^2 - q^2` = `4k^2 + 4k + 1 - 4m^2 - 4m - 1 = 4 (k^2 - m^2 +k - m)`, значит, `p^2 - q^2` делится на 4. Теперь надо доказать, что `(k^2 - m^2 +k - m)` делится на 6, и на этом застопорился. Не подскажете, как это сделать? Или, если мой вариант доказательства изначально неверен, не подскажете, как должно было быть? Заранее спасибо.

@темы: Задачи вступительных экзаменов, Теория чисел

Comments

[Гость]

Наверное проще сначала доказать такой факт.
Любое простое число, большее 3 представимо в виде `6k+-1`.

[к.черный]

число `p^2-q^2=(p-q)(p+q)` делится на 3,
т.к. у `p, q` остатки от деления на 3 равны 1 или 2,
и если остатки равны, то делится на 3 первая скобка, а если остатки не равны, то - вторая.

а число `4(k^2-m^2+k-m)=4(k-m)(k+m+1)` делится на 8

[like_ship_in_the_night]

Гость, извините, не совсем понял. Этот факт надо доказать? И каким образом он применим в данном случае?

к.черный, а из чего следует, что число `4(k^2-m^2+k-m)` делится на 8? Извините, если вопрос глупый, просто для меня это неочевидно. На 4 делится, да, а потом нужно доказать, что число в скобках - четное?

[Гость]

1. Да, надо доказать. После чего подставить полученное выражение вместо `p` и `q` и слегка преобразовать полученное выражение.

2. `k^2+k=k(k+1)` - произведение двух последовательных целых чисел всегда делится на 2.

[к.черный]

а из чего следует, что число делится на 8?

нужно доказать, что число в скобках - четное?

да, именно. Либо воспользоваться указанием 2) от Гость,
либо учесть, что числа `k-m` и `k+m` одной четности, тогда либо `k-m`, либо `k+m+1` делится на 2

[like_ship_in_the_night]

к.черный, Гость, спасибо!