Дополнительные вступительные испытания в МГУ (12.07.2012)

[VEk]

В МГУ 12.07.2012 проводились дополнительные вступительные испытания "Математика вместо ЕГЭ" (школьники, сдающие ЕГЭ в текущем году до этого экзамена не допускаются).
Вот текст одного из вариантов (вариант EM121, материал взят с сайта МГУ).

1. Решите уравнение `1/(x+1)+1/(x-5)=1/(x+3)`.
2. Для функции, опреденной равенством `f(x)=x*(2-3^(-x))/(1+3^(-x))`, вычислите разность значений `f(1/7)-f(-1/7)`.
3. Решите неравенство `(log_2 (x-1))/(log_2 (x-2))<2`.
4. Вокруг треугольника ABC описана окружность. Через ее центр O и вершины B и C проведена вторая окружность, пересекающая отрезок AB в точке D. Найдите отношение AD:CD.
5. Решите неравенство `1/sqrt(1-3x) >= x+1`.
6. Найдите все пары чисел (x,y), удовлетворяющие уравнению `(cosx+cosy)*(sinx+siny)=2`.
7. Рейсовый автобус доезжает от начального пункта Кошкино до конечного – Мышкино за 3 часа, а обратный путь от Мышкино до Кошкино занимает у него 2,5 часа. Так получается потому, что от Кошкино до деревни Низовая автобус едет все время под гору, а от Низовой до Мышкино, все время в гору. А еще на пути стоит деревня Равенская. Откуда бы ни ехать, от Кошкино, или от Мышкино, автобусу на дорогу до нее требуется ровно один час. Определите, сколько времени нужно автобусу, чтобы доехать от Кошкино до Низовой, если известно, что под гору автобус всегда едет с одной и той же постоянной сокростью и точно так же всегда с одной и той же постоянной, но меньшей, скоростью он едет в гору.
8. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами AB=6 и BC = 4, боковые ребра `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` призмы перпендикулярны основанию, их длины равны 6. Плоскость , проходящая через точку C, пересекает ребро `B_1C_1` в точке P – его середине, а ребро `A_1B_1` в точке Q, причем `B_1Q=2A_1Q`. Найдите расстояние от точки P до точки, в которой данная плоскость пересекает прямую `A A_1`.

@темы: Задачи вступительных экзаменов

Comments

[Дилетант]

Спасибо!

6)
Раскрываем скобки:
`cosx sinx+cosy siny+cosy sinx+siny cosx=2`
`1/2 sin(2x)+1/2 sin(2y)+sin(x+y)=2`
Так как `|sin(2x)|<=1`, `|sin(2y)|<=1`, `|sin(x+y)|<=1`, то сумма функций в левой части уравнения равна 2 тогда и только тогда, когда каждая из них принимает своё наибольшее значение, т.е. необходимо решить систему
`{(sin(2x)=1),(sin(2y)=1),(sin(x+y)=1):} => {(x=pi/4+pi n),(y=pi/4+pi k),(x+y=pi/2+ 2pi t),((n,k,t) in ZZ^3):}=>[({(x=pi/4+2pi n),(y=pi/4+2pi k),((n,k) in ZZ^2):}),({(x=pi/4+pi (2n+1)),(y=pi/4+pi(2k+1)),((n,k)in ZZ^2):}):}`.
Так?

2)
`f(x)-f(-x)=x*(2-3^(-x))/(1+3^(-x))+x*(2-3^x)/(1+3^x)=x((2*3^x-1)/(3^x+1)+(2-3^x)/(1+3^x))=x*(3^x+1)/(1+3^x)=x`,
тогда `f(1/7)-f(-1/7)=1/7`.

[sosna24k]

alprobyte, красиво решаете. Я не поняла только почему Z в квадрате или в кубе?

[VEk]

№2 еще удобно решать, выделяя нечетную составляющую функции `phi(x)=1/2(f(x)-f(-x))` (четная составляющая уничтожается). Этот подход фактически совпадает с решением, предложенным alprobyte, но может более понятен школьникам.

sosna24k

почему Z в квадрате или в кубе?

Вектора `(n,k,t)` и `(n,k)` берутся из трехмерного и двумерного пространств «целых» векторов соответственно, просто формально так (или так `n in ZZ, k in ZZ`, но это более громоздко) правильнее писать, нежели `n,k in ZZ` и т.п.

.

`{(sadf),(log_((0,2))x=56):}`
Придуман способ помещения запятых в системы в особых случаях — достаточно поставить доп. скобки -) Т.е. скобки порождают свое подпространство, в котором запятые играют роль разделителей именно для этого подпространства (скобки с запятыми, видимо, для скрипта всегда является неким вектором, упорядоченным множеством, все же скрипт на английский манер), а не внешнего пространства.

[~ghost]

И здесь доброго времени всем)
VEk, спасибо!
Вообще задания смотрятся вроде несложно)
4-ое (планиметрия):

рисунок

вроде посмотреть на углы - и всё (угол `ACD = alpha`, и треугольник `ACD` - равнобедренный: `AD = CD` (отношение `(AD)/(CD) = 1/1`);
только вряд ли просто вот так засчитают.. наверное, надо еще что-то говорить о том, когда (при каких углах ?) решение существует - т.е. когда вторая окр-ть пересекает сторону `AB` "на самой стороне" ( на отрезке `AB`)
( Угол `CDB = 2alpha` должен быть меньше, чем `180 - /_B`, т.е. `alpha < (90 - (/_B)/2)`. Так что ли ?.. )

[VEk]

~ghost, не знаю, какие у них критерии. Но все равно вариант вполне решаемый, правда насколько соответствует замене ЕГЭ (но это уже как решило МГУ). Мне вот понравилась текстовая задача и №2, 6. Они явно не самые простые, особенно для тех, кто закончил школу несколько раньше.

[~ghost]

и мне кажется, что решаемый =)
стереометрия вроде тоже легкая (только оформляла рисунок в "ГеоГебре" я долго=))

как-то так..

№2 - красиво, но точно не сложно)
а текстовая задача (VEk, Вы же имели в виду 7-ую ?) - наверное, да, она "худшее", что здесь есть..

[VEk]

В стереометрии получается 7 (картинку рисовал только на бумажке), в текстовой у меня получилось 40 минут.
№2 - многие ли школьники сумеют ее решить, несмотря на то, что несложно? Большинство подставит числа и начнет преобразовывать, а там куча ошибок.
Да и №6, где из одного уравнения получается система.

[~ghost]

в стереометрии ответ `7`, а в текстовой задаче- 40 минут — ( так же получилось)

в текстовой из условия про "деревню Равенскую" (до которой в одну сторону 1 час, в другую (от нее до..) - 2 часа) получим, что скорость "вниз" в 2 раза большая, чем скорость "вверх" (что-то вроде `x = 2y`), и дальше решается легко..)) {только надо, наверное, сначала дописать какие-то объяснения, что расстояние от Кошкино до Низовой меньшее, чем от Низовой до Мышкино (это вроде "очевидно", но все-таки - можно и из уравнений "вытащить"), и тогда эта деревня Равенская находится между Мышкино и Низовой..}

[к.черный]

Мне вот понравилась текстовая задача и №2, 6. Они явно не самые простые

Решу до кучи оставшиеся, действительно, простые (хотя ошибки в ответах возможны)

1) `1; -7`

3) `(2; 3)uu((5+sqrt5)/2; +oo)`

5) (-oo; (sqrt13-5)/6]uu[0; +oo)
`(-oo; (sqrt13-5)/6]uu[0; 1/3)` спасибо Гостю за замеченную - да что там - ошибку

[Гость]

к.черный, 3) - у меня так же =)) и 5) - почти так, только у Вас опечатка (вобщем-то очевидная) - до 1/3 (...`uu[0;1/3)` )

[к.черный]

Гость, спасибо.
Решала вчера, а сегодня из кривых записей "выцепила" только подчеркнутое `x>=0`, `x<=...`

[Дилетант]

Текстовая задача хороша!

и №2, 6.

Да, славные задачи.

[epimkin]

Как решается текстовая никто не подскажет?

[Гость]

Возможны две ситуации y/a+z/b=3, z/a+y/b=2.5, y/a+(z-a)/b=1 и y/a+z/b=3, z/a+y/b=2.5, z/a+(y-a)/b=1
Вторая не подходит, т.к. y<a
Ответ: 2/3