Математическая олимпиада в Сирии

[l Shift->stop->end l]

Математическая олимпиада в Сирии
www.syrolympsc.org/

Математическая олимпиада проводится с 2006 года в несколько этапов, в т.ч. окружной, провинциальный, национальный финал.

---

Мечеть Омейядов

На месте этой мечети издавна стояли храмы. Они посвящались разным богам. Последним сооружением, на смену которому и пришла мечеть, являлся собор св. Иоанна, в котором молились около 70 лет и мусульмане и христиане. Позднее, в мае 2001 года, совместная молитва мусульман и христиан, в этой мечети состоялась снова - во время визита в Дамаск папы Иоанна Павла второго. Некоторые части здания собора остались нетронутыми и органично вписались в облик мечети. Мечеть строилась 10 лет. Инициатива постройки мечети принадлежит халифу Валиду (начало восьмого века), которому в свое время принадлежали бани "Каср Амра" в Иордании - единственный и уникальный памятник той эпохи, стены которого украшены изображениями живых существ. Мечеть украшена великолепными мозаичными панно, ее полы устланы прекрасными коврами.

2012.08.17 5:00 AM

Внутри мечети, в молельном зале, находится часовня Иоанна Крестителя. Утверждают, что в ней находится голова святого, отрубленная по приказу Ирода Антипы и подаренная Саломее в награду за танец, который она станцевала во дворце, находившемся недалеко от современной Мадабы (Иордания). Но это - не единственная святыня подобного рода: тут же, если пройти влево от часовни, - место паломничества шиитов: голова внука пророка Мухаммада - Хусейна и прядь волос самого пророка.

---

В комментариях условия финального этапа олимпиады 2012 года.

Comments

[Гость]

Финал 2012. День первый

1. Дана окружность `mathcal{C}` с центром в точке `O`, `[AB]` - ее диаметр. На отрезке `[AB]` взята точка `P` отличная от `A`, `B`, `O`. На окружности `mathcal{C}` взята точка `E` отличная от точек `A`, `B`. На дуге `AEB` взята точка `F`, такая, что `/_BPE = /_APF`. Докажите, что точки `P`, `O`, `E`, `F` лежат на одной окружности.

2. Сумма чисел `x_1`, `x_2`, ... , `x_1006` равна `(2012)^2`.

`x_1/(x_1+1)` = `x_2/(x_2+3)` = `x_3/(x_3+5)` = ... = `x_1006/(x_1006+2011)`,

т.е. для всех `k` от 1 до 1006 выражения `x_k/(x_k+2k-1)` имеют одно и то же значение. Найдите `x_252`.

3. Целые числа `m` и `n` удовлетворяют равенству `3m+4n=100`. При каких значениях `m` и `n` значение выражения `m^2+n^2` минимально?

4. Точка `M` расположена на отрезке `[AB]` ближе к точке `B`. `AMCD`, `MBEF` - квадраты, точка `F` принадлежит отрезку `[MC]`. Прямые `AF`, `BC` пересекаются в точке `N`. Докажите, что `N`, `M` - точки пересечения окружностей, описанных около `AMCD`, `MBEF`.

5. Найдите площадь выделенной штриховкой области, если радиус каждого круга равен 1.

[Гость]

Финал 2012. День второй

1. Пусть `a`, `b` - корни уравнения `x^2+px+1=0`, а `c`, `d` - корни уравнения `x^2+qx+1`. Выразите `D=(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)` через `p` и `q`.

2. Площадь треугольника `ABC` равна `S`. На стороне `[AB]` взята точка `P`, для которой верно отношение `(AP)/(PB)=1/4`. Серединный перпендикуляр отрезка `[PB]` пересекает `[CB]` в точке `F`. Площадь треугольника `PQC` равна `4/25 S`.
1) Докажите, что площадь треугольника `PQB` равна `16/25 S`.
2) Докажите, что `(BQ)/(BC) = 4/5`.
3) Докажите, что `AC=BC`.

3. Одно из чисел, обозначим его `k`, множества `S={1, 2, 3, ... , n}` было удалено. Среднее арифметическое оставшихся чисел равно `163/4`. Найдите `k`.

4. Действительные числа `a`, `b` удовлетворяют равенству `a*b=a+b`.
a) Докажите, что `a*b ge 4`.
b) Докажите, что `a/(b^2+4) + b/(a^2+4) ge 1/2`.

5. На рисунке изображена четвертая часть круга `mathcal{C}` с центром в точке `O`, `[OA]`, `[OB]` - ее радиусы. В этот круговой сектор вписана окружность `mathcal{C}_1=C(E,1)` радиуса 1, с центром в точке `E`, касающаяся окружности `mathcal{C}` и радиусов `[OA]`, `[OB]`. Окружность `mathcal{C}_2=C(F,r)` радиуса `r`, с центром в точке `F`, касается окружностей `mathcal{C}`, `mathcal{C}_1` и отрезка `[OA]`.
1) Найдите два числа `a` и `b`, такие, что `(a+bsqrt(2))^2 = 6+4sqrt(2)`.
2) Воспользуйтесь найденными в задании 1 значениями для решения уравнения `(3+sqrt(2))X^2 + 4X - 4(1+sqrt(2))=0`.
3) Пусть `R` - радиус окружности `mathcal{C}`. Найдите `x` - расстояние между проекциями `F`, `E` на отрезок `[OA]`.
a) Найдите `R`.
b) Докажите, что `x^2 = 4r`.
c) Докажите, что `x` может быть найдено как решение квадратного уравнения и найдите его значение.
d) Представьте `r` в виде `(a+bsqrt(2))/c`, где `a`, `b`, `c` - целые числа.
4) Докажите, что `r < 3/10`.
5) Найдите натуральное число `M`, удовлетворяющее `3/10-r<1/M`. Найдите наибольшее значение `M`.